Calcule a velocidade de escape necessária para lançar um foguete de massa para fora do campo gravitacional de um planeta com massa e raio . Use a Lei de Newton da Gravitação e o fato de que a energia cinética inicial de supre o trabalho necessário.

Bom, na realidade essa é uma questão de física, mas que usa o conceito de integral imprópria! Vamos usar a lei da gravitação de Newton e o teorema trabalho-energia (também conhecido como teorema da energia cinética). Este teorema diz que o trabalho da força resultante é igual a variação da energia cinética. Assim,

Como queremos a velocidade de escape, isto é, a velocidade mínima que o foguete deve ter na superfície da Terra () para que ele escape totalmente da atração gravitacional do planeta.

Mas o que é escapar da atração gravitacional da Terra?

Significa estar tão distante da Terra que a força gravitacional se anula, ou seja, estar no “infinito”. Assim, temos que

Como queremos a velocidade mínima para o foguete escapar, queremos basicamente que ele chegue no infinito com velocidade nula (a energia dele será suficiente apenas para escapar da órbita da Terra). Assim, , de modo que

Como , o que precisamos é calcular a integral imprópria!