Se para todos os valores e , e é uma função derivável, mostre que para todos os valores de .
Passo 1
Pelo enunciado podemos assumir que é diferenciável, assim, poderemos usar a definição de derivada, com o limite, juntamente com a desigualdade de módulos que foi dada para provar o que o exercício nos pede que é mostrar que ou .
Passo 2
Utilizando a derivada pela definição podemos fazer
Tomando, então, contínua para todos os valores de e lembrando que o módulo do limite é igual ao limite do módulo, podemos fazer
Do enunciado temos que , então o resultado da divisão ali no limite é menor do que 1, se . Assim,
Passo 3
Podemos escrever o 1 como sendo
Dessa forma, faremos
Essa desigualdade só será verdadeira se
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)