Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 68
Se para todos os valores e , e é uma função derivável, mostre que para todos os valores de .
Passo 1
Pelo enunciado podemos assumir que é diferenciável, assim, poderemos usar a definição de derivada, com o limite, juntamente com a desigualdade de módulos que foi dada para provar o que o exercício nos pede que é mostrar que ou .
Passo 2
Utilizando a derivada pela definição podemos fazer
Tomando, então, contínua para todos os valores de e lembrando que o módulo do limite é igual ao limite do módulo, podemos fazer
Do enunciado temos que , então o resultado da divisão ali no limite é menor do que 1, se . Assim,
Passo 3
Podemos escrever o 1 como sendo
Dessa forma, faremos
Essa desigualdade só será verdadeira se
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' =1 2 x .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y '= x 3 .
Determine a função cuja derivada é f ’ ( x )=2 x–1 e cuja curva passe pelo ponto P ( 0,0 ) .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y '= 2 x .
Mostre que função r( θ ) = 2 θ - cos 2 θ + 2 , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (- ∞ , ∞ ).