Trace a curva

Se essa curva girar em torno do eixo , calcule a área da superfície resultante. (Use o gráfico para ajudar a encontrar o intervalo correto do parâmetro.)

Primeiro vamos plotar o gráfico, eu vou utilizar o GeoGebra, mas você pode fazer na mão, como a gente comentou, você precisa colocar diversos valores para e ir desenhando os pontos.

se temos

e

Se temos

e

Assim, ficamos com o seguinte gráfico:

A parte de cima da figura é desenhada no sentido anti-horário de para , como vamos racioná-la ao redor do eixo , basta pegar esse intervalo de então esses são os limites de integração que vamos precisar usar.

Vamos começar encontrando as derivadas parciais:

Vamos então derivar:

E

Substituindo então na formula:

Fazendo esses produtos notáveis e ganhando de brinde uma equação gigante:

Vamos juntar as identidades trigonométricas :

Substituindo então:

Para resolver essa integral vamos lembrar da identidade trigonométrica que diz que: e

Realizando o produto:

Utilizando novamente a identidade trigonométrica :

Temos então:

Colocando a em evidencia:

Retirando as constantes da integral:

Vamos usar mais uma vez que :

Colocando dentro da integral:

Temos então uma integral possível de se calcular:

Vamos realiza rentao uma substituição para realizar essa integral:

Integrando a gente encontra:

Agora é colocar os limites de integração:

E partir para o abraço:

Temos então: