Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 10.4 - Ex. 12
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela
Passo 1
Olá, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Dada a curva parametrizada:
Devemos encontrar o seu esboço e calcular a área que ela delimita. Para encontrar essa figura, iremos criar uma tabela com diferentes valores de , obtendo então diferentes valores para e assim ao plotarmos esses pontos, poderemos observar o comportamento da nossa curva.
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por:
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular. O intervalo de integração da nossa integral é todo o intervalo necessário para que consiga varrer toda a figura.
Passo 2
Primeiro vamos esboçar nossa curva, depois a gente calcula a área.
Para esboçar, vamos escolher alguns valores de dentro do intervalo e obter os valores de correspondentes. Assim a gente plota os pontos , depois liga.
Vamos fazer dessa forma manual porque nessa questão ele não pede para usar ferramenta gráfica, ok?
Plotando esses pontos e ligando tudo, vamos ter a curva:
Agora sim vamos calcular a área da curva!
Passo 3
O intervalo de integração da nossa integral é todo o intervalo necessário para que consiga varrer toda a figura:
O é a própria parametrização
Então é só substituir e integrar esse negócio.
Passo 4
Vamos lá:
Realizando o produto notável:
Vamos utilizar da identidade trigonométrica :
Veja que cada integral é calculada direta, pois são trigonométricas e são tabeladas:
Agora podemos substituir os intervalos de integração:
Resposta
