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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 23

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r = 2 cos ⁡ θ

r = 1

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de integral em coordenadas polares aqui, vamos lá!

Vamos começar plotando nossas curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

A forma mais fácil de plotar essa curvas é atribuindo valores para θ e marcando o valor de r no gráfico.

Na primeira curva ( r = 2 cos ⁡ θ ) temos:

Já a segunda curva ( r = 1 ) nada mais é que um circulo de raio 1 centrado na origem, já que para todo valor de θ teremos r = 1 .

Dessa forma, a região que queremos calcular a área é a parte sombreada do gráfico abaixo.

Além disso, sabendo que a área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Só temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

Nós estamos buscando a área da região sombreada, mas como a gente define ela? Veja que as curvas coincidem em dois pontos:

E o que queremos é justamente toda a área da primeira curva ( r = 2 cos ⁡ θ ) no intervalo entre os pontos a e b MENOS toda a área da segunda curva ( r = 1 ) nesse intervalo!!!

O r da fórmula é a própria parametrização da curva. Mas a gente quer a área entre a primeira e a segunda curva, então vê se faz sentido pra vocês que a gente faça a área da curva de fora menos a área da curva de dentro?

Faz né?!

Assim, vamos ter dois r , porque vamos ter duas áreas, ou seja, duas integrais, a da curva de fora e a da curva de dentro.

r = 2 cos ⁡ θ

r = 1

Passo 3

Agora pra encontrar o intervalo ficou fácil depois do spoiler da figura, vamos precisar encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas.

Para isso, só precisamos igualar as duas curvas:

2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 2

Então temos os seguintes valores de θ :

θ = π 3

E

θ = 5 π 3

Esses são os dois valores de θ no qual as curvas se intersectam, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:

π 3 ≤ θ ≤ 5 π 3

Então, o intervalo de integração é

a = π 3

b = 5 π 3

Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!

Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de 0 até θ = π 3 e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham?

Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 2 cos ⁡ θ 2 d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 4 cos 2 ⁡ θ d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 d θ

Trocando o cos 2 ⁡ θ por uma identidade trigonométrica, teremos:

A 1 = 4 2 ∫ 0 π 3 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 d θ

A 1 = 4 2 ∫ 0 π 3 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 d θ

Resolvendo a integral:

A 1 = 2 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ π 3 0 - 1 2 θ π 3 0

Aplicando os limites de integração:

A 1 = 2 1 2 ∙ π 3 + 1 4 sen ⁡ 2 π 3 - 1 2 ∙ 0 + 1 4 sen ⁡ 0 - 1 2 π 3 - 0

A 1 = 2 π 6 + 1 4 3 2 - 0 + 1 4 0 π 3 0 - π 6

A 1 = 2 π 6 + 3 8 - π 6

A 1 = 2 π 6 + 3 4 - π 6

A 1 = π 6 + 3 4

Assim, a área total da curva é

A = 2 × A 1 = π 3 + 3 2

Resposta

A = π 3 + 3 2

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Uma vaca é amarrada a um silo com raio r por uma corda comprida o suficiente para alcançar apenas o outro lado do silo. Calcule a área disponível para a vaca pastar.
Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais. x = t 2 - t 3 ,y
Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais. x = t sen ⁡ t ,y
Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais. x = 1 + t e t ,y
Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais. x = sen ⁡ t ,y =