Utilize o computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a garantir que a visualização é verdadeira.

r(t) = < s, c, t^2 >

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade?

Vamos utilizar um software matemático para traçar a curva da equação vetorial:

r → t = < s e n t , c o s t , t 2 >

A partir das equações paramétricas, e analisando suas interseções com os planos coordenados podemos descobrir a forma da curva.

Iremos utilizar para essa atividade o GeoGebra 3D, pois é fácil de utilizar, gratuito e online. Mas você pode escolher outro caso se sinta mais confortável.

Podemos garantir uma boa visualização analisando a equação cartesiana da função. Como temos uma função trigonométrica, poderemos utilizar aqui a relação trigonométrica fundamental.

Passo 2

Veja que a nossa parametrização é:

x t = sin ⁡ t

y t = cos ⁡ t

E

z t = t 2

No plano x y , temos uma circunferência de raio 1, pois podemos utilizar a identidade trigonométrica fundamental e a parametrização que nos foi dada:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = x 2 + y 2 = 1 2

Porém se analisarmos o eixo z , teremos um fator que cresce com o quadrado de t , ou seja, de forma não linear.

Termos assim uma hélice que cresce em torno do eixo z , delimitada pelo cilindro de base unitária que também cresce em torno de z .

Passo 3

Plotando o gráfico com o GeoGebra:

A escolha do intervalo de t por [ - π , π ] acontece pois conseguimos gerar toda a curva dentro desse intervalo, sendo ele o seu período. Veja que de 0 a π cobrimos metade da curva, e de 0 a - π a outra metade.

Resposta

A curva dada é uma hélice em torno do eixo z.

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