Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com seta a direção na qual o parâmetro cresce.

r → t = s e n   t   i → + s e n   t   j → + 2 cos ⁡ t k →

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função vetorial:

r → t = s e n   t   i → + s e n   t   j → + 2 cos ⁡ t k →

Primeiramente queremos esboçar o gráfico dessa função.

Para isso, devemos analisar as equações paramétricas dessa função para ver que figura tridimensional elas formam. Nesse caso, devemos saber da seguinte relação entre coordenadas e vetores unitários:

x → i →

y → j →

z → k →

Com isso, vamos manipular algebricamente essas equações para verificarmos o padrão da equação que forma com as 3 variáveis.

Em seguida, vamos verificar o crescimento de t de acordo com a equação que estamos analisando.

Agora bora lá! 😉

Passo 2

As equações paramétricas são:

x = y = s e n   t

z = 2 cos ⁡ t

Elevando todas as componentes ao quadrado e somando, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = s e n 2 t + s e n 2 t + 2 cos 2 ⁡ t

x 2 + y 2 + z 2 = 2 s e n 2 t + 2 cos 2 ⁡ t

Sabemos que s e n 2 a + cos 2 ⁡ a = 1 , portanto:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t

x 2 + y 2 + z 2 = 2

Ou seja, a curva se encontra em uma esfera centrada na origem e de raio 2 :

Passo 3

Além disso, a segunda e terceira coordenada são iguais, indicando que a curva é a interseção da esfera encontrada no passo 2 com o plano x = y .

Tal intercessão é o círculo de raio 2 com centro na origem e no plano x = y .

Esboçando, temos a seguinte figura, onde o parâmetro t cresce no sentido anti-horário.

Resposta

A curva procurada é o círculo de raio 2 com centro na origem e no plano x = y .

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