Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 16
- Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas com para estimar a área da superfície .
- Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área da superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a).
Passo 1
E aí, galera! Tudo sussa?
Na parte a) a questão pede que a gente use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas com para estimarmos a área da superfície que está limitada entre:
Nota que essa região escrita acima forma um quadrado plano . Como o enunciado diz que:
Significa que temos que dividir nosso quadrado em uma grade 2x2, o que nos deixa com 4 divisões desse quadrado .
A regra do ponto médio pode ser calculada como:
Resumindo o que precisamos achar aqui: vamos dividir nosso retângulo em quatro partes como pede o enunciado e calcularmos seus pontos médios.
Depois nós vamos calcular as derivadas parciais da nossa função em relação a e a e vamos somar os termos:
Para cada ponto médio que encontramos.
Vamos calcular também , que é a área de cada um dos quatro retângulos.
Na parte b) vamos usar um sistema para calcular a integral dupla:
E comparar os resultados da parte a) e b).
Bora?
Passo 2
Vamos inicialmente tomar quatro quadrados, formando um único quadrado. Desta forma podemos dizer que o ponto médio de cada um desses quadrados será
, , e
onde
Passo 3
Vamos calcular:
E para isso precisamos achar as derivadas parciais:
- :
- :
Derivando em e tratando as outras variáveis como constantes:
Derivando em e tratando as outras variáveis como constantes:
Aplicando no nosso termo:
Passo 4
Calculando , a região que antes era , ou seja, um quadrado de 2 x 2, agora que dividimos em 4, cada quadrado vai ter metade dessa medida nas duas direções, então:
Agora que já temos todos os termos de:
Vamos substituir o que encontramos:
Agora é só somarmos essa expressão para cada um dos pontos médios que encontramos no passo 2.
Logo temos
Passo 5
b) A regra do ponto médio é uma forma de calcular a integral dupla sobre uma região:
Então, no software jogamos a integral dupla. Como o retângulo é , nossos limites de integração são:
E:
Com a utilização de um sistema de computação algébrica, temos que
Comparando os resultados, vemos que não são exatamente iguais, mas próximos.