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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 26b

26. Calcule, se existir: (a) int_(- 1)^1 (d x)/(x) ; (b) underset(r -> 0^+)(lim) [int_(- 1)^(- r) (d x)/(x) + int_r^1 (d x)/(x)]

Letra (b)

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Calculando o limite dado, temos:

underset(r -> 0^+)(lim) [int_(- 1)^(- r) (d x)/(x) + int_r^1 (d x)/(x)] = underset(r -> 0^+)(l i m) [[l n x]_(- 1)^(- r)] + [l n x]_r^1 ] =

= underset(r -> 0^+)(l i m) [ln (- r) - (ln (- 1)) + l n 1 - ln (r)] = underset(r -> 0^+)(l i m) [- ln (r) - 0 + 0 - ln (r)] = + oo

Logo, o limite em questão não existe.

Resposta

o limite em questão não existe.

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