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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 28

Nos exercícios 27 a 29, ache os valores de n para os quais a integral imprópria converge e para esses valores calcule a integral.

28. ∫ 0 1 x n l n x d x

Passo 1

Nestas questões estamos voltado em fazer nossa análise em torno de n = - 1 . Então será analisado cada possibilidade de n para podermos tirar as conclusões.

Para o cálculo da integral imprópia pode ser adotado todo o método utilizado na resolução das primeiras questões dessa seção.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Passo 2

Fazendo a ánalise se n ≤ - 1 , temos que :

x n ≥ x - 1   p a r a   t o d o   x   p e r t e c e n d o   a o   i n t e r v a l o   [ 0,1 ]

∫ 0 1 x n l n x d x = l i m t → 0 + ∫ t 1 x - 1 l n x d x = l i m t → 0 + 1 2 l n x 2 t 1 = l i m t → 0 + - 1 2 l n t 2 = - ∞

Logo, para n ≤ - 1 , a integral dada diverge.

Passo 3

Fazendo a ánalise se n > - 1 , temos que :

∫ 0 1 x n l n x d x = l i m t → 0 + ∫ t 1 x n l n x d x = l i m t → 0 + x n + 1 l n x n + 1 - x n + 1 n + 1 2 t 1 =

= l i m t → 0 + l n 1 n + 1 - 1 n + 1 2 - t n + 1 l n t n + 1 - t n + 1 n + 1 2 =

= - 1 n + 1 2 - 1 n + 1 l i m t → 0 + t n + 1 l n t

Nota: Para resolver a integral acima foi utilizada a técnica de integração por partes.

Pare resolvermos a questão devemos determinar o l i m t → 0 + t n + 1 l n t . Ao observar o mesmo, percebemos que estamos diante de uma indeterminação do tipo 0 x ∞ .

Passo 4

Aplicando L´H no limite indeterminado acima teremos:

l i m t → 0 + t n + 1 l n t = l i m t → 0 + l n t t - n + 1 = l i m t → 0 + 1 t - n + 1 t - n + 1 - 1 = l i m t → 0 + t - 1 - n + 1 t - n - 2 =

= l i m t → 0 + t - 1 - ( - n - 2 ) - n + 1 = l i m t → 0 + t n + 1 - n + 1 = 0

Passo 5

Sendo assim, temos que :

∫ 0 1 x n l n x d x = - 1 n + 1 2

Logo, para n > - 1 , a integral dada converge.

Resposta

A integral dada diverge para n ≤ - 1 .

A integral dada converge para n > - 1 e tem seu valor como sendo ∫ 0 1 x n l n x d x = - 1 n + 1 2

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