1. Trace-as raízes de cada polinômio em uma reta, juntamente com os zeros de sua primeira derivada.
  2. i) y = x^2 - 4

    ii) y = x^2 + 8x + 15

    iii) y = x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x - 2)^2

    i v) y = x^3 - 33*x^2 + 216*x = x*(x - 9)*(x - 24)

  3. Use o teorema de Rolle para provar que entre duas raízes quaisquer de

x^n + a_n-1 * x^(n-1) + … + a_1 * x + a_0

existe uma raiz de

n * x^(n-1) + (n-1) * a_n-1 * x^(n-2) + … + a_1

Passo 1

Solucionando o item a:

Encontrando as raízes de cada função, teremos:

i )   x 2 - 4 = 0

x 2 = 4

x = 4

x 1 = + 2 ,     x 2 = - 2

i i )   x 2 + 8 x + 15 = 0

Δ = 8 2 - 4 × 1 × 15 = 4

- 8 ± 4 2 × 1 = - 8 ± 2 2

x 1 = - 3 ,     x 2 = - 5

i i i )   x + 1 x - 2 2 = 0

x + 1 x - 2 x - 2 = 0

x 1 = - 1 ,     x 2 = 2 ,     x 3 = 2

i v )   x x - 9 x - 24 = 0

x 1 = 0 ,     x 2 = 9 ,     x 3 = 24

Passo 2

Derivando item a item e igualando a 0, teremos:

i ) y ' = 2 x

2 x = 0

x = 0

i i ) y ' = 2 x + 8

x = - 8 2

x = - 4

i i i )   y ' = 3 x 2 - 6 x

3 x 2 - 6 x = 0

3 x x - 2 = 0

x 1 = 0 ,     x 2 = 2

i v )   y ' = 3 x 2 - 66 x + 216

3 x 2 - 66 x + 216 = 0

Δ = - 66 2 - 4 × 3 × 216 = 4356 - 2592 = 1764

- - 66 ± 1764 2 × 3 = 66 ± 42 6

x 1 = 18 ,     x 2 = 4

Passo 3

Traçando a reta com os pontos da função e o zero da derivada, teremos:

Passo 4

Solucionando o item b:

Sendo:

P x = x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 1 x + a 0

P ' x = n x n - 1 + n - 1 a n - 1 x n - 2 + … + a 1

Com base em tudo o que já foi desenvolvido acima, sejam duas raízes a   e b de um polinômio P ( x ) qualquer, temos que P a = P b = 0 . Uma vez que as funções são contínuas e diferenciáveis em todos os pontos do intervalo, o Teorema do valor Médio é aplicável. Logo, temos um valor c , situado entre a   e   b , que satisfaz a expressão P ' c = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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