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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 76

Use o argumento da mesma derivada para provas as identidades

  1. t g - 1 x + c o t g - 1 x = π 2
  2. sec - 1 ⁡ x + c o s s e c - 1 x = π 2

Passo 1

O argumento da mesma derivada nos diz que se f ' ( x )   =   g ' ( x ) em cada ponto x de um intervalo aberto ( a ,   b ) , então existe uma constante C tal que f ( x )   =   g ( x )   +   C para qualquer x   ∈   ( a ,   b ) . Usaremos esse fato para mostrar as duas identidades apresentadas nas alternativas. Lembrando que as notações indicam as funções inversas das funções trigonométricas.

Passo 2

Tomemos, inicialmente,

f x = t g - 1 x → f ' x = 1 1 + x 2

Podemos encontrar uma função g x =   - c o t g - 1 x → g ' x = - - 1 1 + x 2 =   1 1 + x 2 . Como f ' x = g ' ( x ) pelo argumento da mesma derivada, temos que

f ( x )   =   g ( x )   +   C

t g - 1 x =   - c o t g - 1 x + C   ( i )

Como essa igualdade é válida para todo x dentro do domínio dessas funções, ela deve ser válida para x = 1 . Assim,

t g - 1 1 =   - c o t g - 1 1 + C

π 4 =   - π 4 + C

C = π 4 + π 4 = 2 π 4 = π 2

Substituindo o resultado obtido em ( i ) obtemos

t g - 1 x =   - c o t g - 1 x + π 2

∴ t g - 1 x + c o t g - 1 x =   π 2

Passo 3

Para a letra B tomemos

f x = sec - 1 ⁡ x → f ' x = 1 x ⋅ 1 + x 2

Podemos encontrar uma função g x =   - c o s s e c - 1 x → g ' x = - - 1 x ⋅ 1 + x 2 =   1 x ⋅ 1 + x 2 . Como f ' x = g ' ( x ) pelo argumento da mesma derivada, temos que

f ( x )   =   g ( x )   +   C

sec - 1 ⁡ x = - c o s s e c - 1 x + C  

Como essa igualdade é válida para todo x dentro do domínio dessas funções, ela deve ser válida para x = 2 2 . Assim,

sec - 1 ⁡ 2 2 = - c o s s e c - 1 2 2 + C   ( i )  

π 4 =   - π 4 + C

C = π 4 + π 4 = 2 π 4 = π 2

Substituindo o resultado obtido em ( i ) obtemos

sec - 1 ⁡ 2 2 = - c o s s e c - 1 2 2 + π 2

∴ sec - 1 ⁡ 2 2 + c o s s e c - 1 2 2 = π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que f ' ( x ) = 1 para 1 = x = 4 . Mostre que f (4) - f (1) = 3 .
Assim como fizemos para provar as regras do produto e da potenciação para logaritmos, use o argumento da mesma derivada para provar a regra do quociente.
Use a desigualdade min f^' = (f (b) - f ( a ))/(b - a) = max f ' para estimar f ( 0,1 ) se f^' (x) = (1)/(1 - x^4) para 0 = x = 0.1 e f (0) = 2 .
Seja f derivável em todo valor de x , e suponha que f ( 1 )=1 , que f'0 em ( - ∞ ,1 ) e que f'0 em ( 1 ,∞ ) . A. Mostre que f x ≥1 para todo x . B. f ' 1 = 0 , necessariamente? Explique.
Use a desigualdade min f^' = (f (b) - f ( a ))/(b - a) = max f ' para estimar f ( 0,1 ) se f^' (x) = (1)/(1 + x^4 cos^4 x) para 0 = x = 0.1 e f (0) = 1 .