Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 65
Demonstre que para todos os valores de x. (Dica: considere .)
Passo 1
Queremos mostrar a desigualdade modular apresentada no exercício, para isso usaremos a dica dada no próprio exercício que é usar , onde x é um número real. Das características das funções trigonométricas mais básicas sabemos que a função é contínua em e diferenciável em .
Passo 2
Sendo a derivada da função , sendo assim a função satisfaz as condições do teorema do valor médio. Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que
Passo 3
Nosso intervalo de análise é , aplicando o teorema vamos ter
Passo 4
Lembrando que a função seno é limitada, podemos fazer
Substituindo em teremos
Aplicando a definição de módulo teremos
Como o módulo da divisão é a divisão dos módulos podemos fazer
Passo 5
Precisamos analisar os casos em que . Se ao passarmos o x multiplicando pro outro lado os sinais da desigualdade irão mudar
Passo 6
Para o caso em que nós teremos
Aplicando a função modular podemos concluir que
Passo 7
Em ambos os casos obtivemos . Por fim, precisaremos analisar o caso e obteremos
O que também é válido.
Passo 8
Por fim, como a desigualdade foi válida para podemos concluir que a desigualdade
É válida para todo x.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)