O tratamento dialítico remove a uréia e outros resíduos do sangue de uma paciente, desviando um pouco do sangue externamente através de uma máquina chamada dialisador. A taxa na qual a uréia é removida no sangue é frequentemente descrita pela equação

u t = r V C 0 e - r t V

Onde r é a taxa de sangue baixo através do dialisador (em m L / m i n ), V é o volume de sangue do paciente (em m L ), e C 0 é a quantidade de ureia no sangue (em m g ) no instante t = 0 . Calcule a integral ∫ 0 30 u t d t e a interprete.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer a gente calcule a seguinte integral:

∫ 0 30 r V C 0 e - r t V d t

Onde:

  • r é a taxa de sangue baixo através do dialisador (em m L / m i n ⁡ ) ;
  • V é o volume de sangue do paciente (em m L );
  • C 0 é a quantidade de ureia no sangue (em m g ) .

Depois de resolvida, a questão nos pede para interpretar a integral que resolvemos.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... colocando as constantes para fora da integral, temos:

r V C 0 ∫ 0 30 e - r t V d t

Aqui podemos usar a técnica da substituição.

Pois se fizermos

u = - r t V

Sua derivada é

u ' = - r V

Que não depende de t . Isso vai auxiliar para que após a substituição toda a integral esteja escrita em termos da nova variável u .

Na técnica da substituição temos que encontrar a diferencial de u fazendo:

d u = u ' d t

E assim conseguimos substituir a diferencial de t da integral.

Passo 3

Nossa integral é:

∫ 0 30 r V C 0 e - r t V d t

Fazendo

u = - r t V

Temos que o diferencial de u será:

d u = - r V d t

E portanto o diferencial de t será:

d t = - V r d u

E teremos os seguintes intervalos de integração. Quanto

t = 0

u = - r V 0 = 0

E quando

t = 30

u = - r V 30 = - 30 r V

Assim, fazendo a substituição na integral, temos:

r V C 0 ∫ 0 30 e - r t V d t = r V C 0 ∫ 0 - 30 r V - V r e u d u

Que resulta em:

= - C 0 ∫ 0 - 30 r V e u d u

Resolvendo a integral da exponencial, encontramos:

= - C 0 e u 0 - 30 r V

E substituindo os limites teremos:

= - C 0 e - 30 r V - e 0

Que é o mesmo que:

= C 0 1 - e - 30 r V

Esse valor que descobrimos trata-se da quantidade total de ureia removida após os 30 primeiros minutos de diálise.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

C 0 1 - e - 30 r V

Esse valor que descobrimos trata-se da quantidade total de ureia removida após os 30 primeiros minutos de diálise.

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