Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 63
Se q coulombs for a carga de eletricidade recebida por um condensador de um circuito elétrico de i ampères em t s, então . Se e quando , ache a carga positiva máxima no condensador.
Passo 1
Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é a carga elétrica no tempo, o que dá origem a corrente elétrica! Como dado no enunciado, a corrente i pode ser escrita como . Nos foi pedido a carga positiva no condensador, ou seja, q(t). Também nos foi dada o valor pra corrente e da carga em um determinado instante de tempo. Vamos montar nosso problema abaixo.
Como podemos obter dq para substituirmos na integral e encontrar a carga máxima? Através da relação da corrente que nos foi dada!
Agora temos todas as informações para resolver o problema!
Passo 2
Resolvendo a integral temos:
Passo 3
Uma vez obtida equação da carga, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,
Como o cosseno de é igual a 1, temos:
Portanto,
Passo 4
O enunciado pede o valor da carga positiva máxima no condensador. Vamos olhar para a equação da carga elétrica;
Para que essa quação atinja seu valor máximo, a função cosseno precisa assumir o seu menor valor, ou seja, -1. Isso acontecendo teremos que:
Resposta
A carga positiva máxima é: