Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 70
Calcule a integral definida.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que calcular a integral definida dada por:
Parece complicado?
Quando temos uma integral definida onde temos que integrar uma função em um intervalo , a primeira coisa a se fazer é analisar o domínio da função ...
- Se for contínua e definida em todo o intervalo , podemos seguir para o cálculo da integral.
- Mas se tiver uma singularidade (uma indefinição) em um ponto , que pertence ao intervalo podemos afirmar que a integral de diverge.
Se nesse caso, a primeira opção for válida, podemos imaginar que calcular a integral dessa função vai ser muito difícil. Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:
Esse método consiste em substituir parte da função por uma variavel e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.
- Substituir parte da função por .
- Derivar em relação a para obter e isolar em um lado da igualdade.
- Substituir e na integral.
- Substituir os limites de integração de em para obter os limites de integração em .
- Calcular a integral!
Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então temos que fazer várias questões pra ficarmos craques!
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Nossa integral é dada por:
E nossa função de integração, é:
Podemos perceber que tanto quanto são contínuas para qualquer valor de . Então não temos nenhuma indefinição em , logo a função é integrável.
Show?
Passo 3
Para simplificar nossa integral, podemos definir o expoente de como .
Derivando pela regra da cadeia e isolando em um lado da igualdade.
Também temos que substituir os limites de integração:
Quando .
Quando .
Agora substituindo , e os limites de integração, vamos obter:
Porém! Perceba que os limites de integração são iguais... se lembrarmos das propriedades das integrais definidas, vamos ver que:
Então podemos afirmar que:
Logo, voltando para a integral do enunciado:
É isso! O que achou? Responde Aí!