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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 30

Calcule a integral indefinida.

int (sec^2 (x))/(tan^2 (x)) d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int (sec^2 (x))/(tan^2 (x)) d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = tan (x)

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

(d u)/(d x) = sec^2 (x) :.

d u = sec^2 (x) d x

Assim, reescrevendo na integral, obtemos:

int (sec^2 (x))/(tan^2 (x)) d x = int (d u)/(u^2)

Bem mais agradável e imediata, não? Agora vamos resolver ela!!

Passo 3

Agora ficou bem mais simples integrar e mais imediato também, então, teremos:

int (sec^2 (x))/(tan^2 (x)) d x = int (d u)/(u^2) :.

= int u^(- 2) d u :.

= (u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C :.

= (u^(- 1))/(- 1) + C :.

Sendo assim:

int (sec^2 (x))/(tan^2 (x)) d x = - (1)/(u) + C

Por fim, retornando para a variável x de origem vamos obter:

int (sec^2 (x))/(tan^2 (x)) d x = - (1)/(tan (x)) + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int (sec^2 (x))/(tan^2 (x)) d x = - (1)/(tan (x)) + C

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