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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 22a

22. Suponha que as condições são como no Problema 20, exceto que existe uma força devido àresistência do ar com sentido oposto ao da velocidade e magnitude υ²/1325, em que avelocidade υ é medida em m/s.(a) Encontre a altura máxima acima do solo alcançada pela bola.(b) Encontre o instante em que a bola bate no chão.(c) Desenhe os gráficos da velocidade e da posição em função do tempo. Compare essesgráficos com os gráficos correspondentes nos Problemas 20 e 21.

Passo 1

Quando começamos a falar de resistência do ar começar a fala das Forças de Arrasto. Que podem ser Linear ou Quadráticas. A que estamos trabalhando em questão é a Linear que tem o seguinte formato

F a =   - k v

No nosso caso nossa força de arrasto é

F a =   - 1 1325 v 2

Passo 2

Para resolver essa questão precisamos fazer uma análise das forças em questão

F r =   - F g - F a

m a =   - m g - k v 2

Podemos fazer um pequeno truque aqui

m d v d t = -   m g - k v ²

d v d t =   - g - k m v ²

Visto que essa questão quer a velocidade em função da distância, podemos fazer a seguinte manipulação

d v d t = v d v d x

E olha que ótimo temos em mãos uma equação separável, isso facilita muito nosso trabalho

v g + k m v 2 d v =   - 1 d x

Para resolver essa integração vamos precisar fazer uma substituição

∫ v g + k m v 2 d v = ∫ - 1 d x

u =   g + k m v 2

d u = 2 k m v d v

Assim nossa integração do lado esquerdo fica da seguinte maneira

∫ v g + k m v 2 d v = m 2 k ∫ 1 u d u

m 2 k ln ⁡ u

Agora vamos voltar de u → v  

m 2 k ln ⁡ u → m 2 k ln ⁡ g + k m v 2

Por fim nossa equação solução é

m 2 k ln ⁡ g + k m v 2 = - x + C

g + k m v 2 = C e - 2 k x m

Manipulei um pouco C afinal ele é uma constante arbitraria.

v 2 = m k C e - 2 k x m - g

Passo 3

Vamos descobrir c, utilizando os dados de contorno

v 0 = 20

Assim nossa equação fica

v 2 = m k C e - 2 k x m - g

20 2 = 0.15 ⋅ 1325 C - 10

C = 400 0.15 ⋅ 1325 + 10  

C = 12

Com isso conseguimos nossa equação geral

v 2 = 0.15 ⋅ 1325 12 e - 2 x 0.15 ⋅ 1325 - 10

Passo 4

E por fim agora queremos saber qual é a altura máxima, para siso vamos precisar pensar no seguinte, no auge da subida nosso objeto para no ar e depois cai . Assim v = 0

0 =   0.15 ⋅ 1325 12 e - 2 x 0.15 ⋅ 1325 - 10

12 e - 2 x 0.15 ⋅ 1325 - 10 = 0

e - 2 x 0.15 ⋅ 1325 = 10 12

- 2 x 0.15 ⋅ 1325 = ln ⁡ 10 12

x = 0.15 ⋅ 1325 2 ⋅ ln ⁡ 12 10

Usei um truque de propriedades de logaritmo para sumir com o sinal de menos com isso nossa altura máxima é

x = 18 m

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

x = 18 m

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