Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 19a
19. Considere um lago, de volume constante V, contendo, no instante t, uma quantidade Q(t) de poluentes distribuídos uniformemente em todo o lago com uma concentração c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha que está entrando no lago água contendo uma concentração k de poluentes a uma taxa r e que está saindo água do lago à mesma taxa. Suponha também que são adicionados poluentes diretamente no lago a uma taxa constante P. Note que as hipóteses feitas não consideram uma série de fatores que podem ser importantes em alguns casos — por exemplo, a água que é adicionada ou perdida devido à precipitação, à absorção ou à evaporação; aestratificação em consequência das diferenças de temperatura em um lago profundo; a produção de baías protegidas, por causa de irregularidades na borda; e o fato de que os poluentes não são depositados uniformemente em todo o lago (em geral), mas em pontos isolados em suaperiferia. Os resultados a seguir têm que ser interpretados levando em consideração que não foram contemplados fatores como esses.
(a) Se a concentração de poluentes no instante t = 0 é c0, encontre uma expressão para aconcentração c(t) em qualquer instante t. Qual é a concentração limite quando t → ∞?
(b) Se a adição de poluentes no lago termina (k = 0 e P = 0 para t > 0), determine o intervalode tempo T necessário para que a concentração de poluentes seja reduzida a 50% de seu valororiginal; e a 10% de seu valor original.(c) A Tabela 2.3.2 contém dados6 para os Grandes Lagos.* Usando esses dados, determine, a partir do item (b), o tempo T necessário para reduzir a contaminação desses lagos a 10% de seu valor original.
Passo 1
Quando olhamos para esse questão podemos usar a mesma modelização que a teoria desse capitulo usa nas questões de concentração num tanque, assim nossa equação tem a seguinte cara
O ótimo dessa equação é que ela é separável, podemos fazer o seguinte truque então
Sim , é possível fazer isso, e não é bruxaria ! Vamos integrar em ambos os lados
Não podemos esquecer de C, e como ele ta la em cima no argumento da exponencial , podemos manipular ele, afinal é arbitrário
Passo 2
Vamos agora achar nossa função concentração C(t) pelos dados de contorno
Usando os dados de contorno agora
Assim nossa função é
Passo 3
E por fim queremos saber o que acontece com nossa função quando aplicamos o limite para t muito grande. Vamos descobrir então
A parte exponencial tende a zero, logo nossa concentração tende a
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )