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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 35

Tronco de cone O segmento de reta unindo os pontos (0, 1) e (2, 2) é girado em torno do eixo x para gerar um tronco de cone. Encontre a área de superfície do tronco de cone utilizando a parametrização x = 2 t ,   y = t + 1 ,   0 ≤ t ≤ 1 . Verifique seu resultado com a fórmula geométrica: Á r e a = π ( r 1 + r 2 ) (altura de inclinação).

Passo 1

Olá, tudo bem? Ficou um pouco confuso nesta questão? Então, vem comigo!

Vamos começar tentando entender como a parametrização do enunciado se comporta. Por exemplo, em t = 0 , temos x = 0 , y = 1 e, para t = 1 , temos x = y = 2 . Como tanto a parametrização de x como a de y dependem linearmente de t , então, temos exatamente uma reta sendo representada por essa parametrização. Beleza, então.

Como a reta é girada em torno do eixo x , vamos usar a fórmula

S = ∫ 0 1 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Lembrando que essa é a fórmula para quando a curva é girada em torno do eixo x . Se for em torno do eixo y , a gente troca y por x na fórmula da área.

Passo 2

Para usar a fórmula do Passo 1, a primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

d x d t = d d t ( 2 t ) =   2  

d y d t = d d t (   t + 1 ) =   1  

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = 1 2 + 2 2 = 5  

Tudo tranquilo até agora? Então, vamos que vamos!

Passo 3

Agora, calculamos a integral

S = ∫ 0 1 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t   = ∫ 0 1 2 π ⋅ ( t + 1 ) ⋅ 5     d t

S = 2 π 5   ∫ 0 1 ( t + 1 ) d t   = 2 π 5   t 2 2 + t 0 1  

S = 2 π 5   1 2 + 1 = 2 π   5     3 2 = 3 π 5      

É só isso, pessoal! Gostou? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

S = 3 π 5  

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = 3 + 2s e nθ , r = 2
Calcule a área limitada pela curva x = t - (1)/(t) , y = t + (1)/(t) e a reta y = 2,5 .
Enocontre a área limitada pela curva x = cos ⁡ t e y = e t , 0 ≤ t ≤ π / 2 e as retas y = 1 e x = 0 .
Use um gráfico para estimar os valores de θ para os quais as curvas r = 3 + s e n5 θ e r = 6s e nθ se interceptam. Então estime a área que está dentro de ambas as curvas.
Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 1 + cos ⁡ θ ,r = 3 cos ⁡ θ