Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 32

Calcule a área limitada pela curva x = t - (1)/(t) , y = t + (1)/(t) e a reta y = 2,5 .

Passo 1

O problema fornece a curva parametrizada

x = t - (1)/(t) e y = t + (1)/(t)

E pede a área da região limitada pela curva e pela reta y = 5 // 2 . A seguir plotamos as duas curvas para t >= 0 :

Queremos a área da região abaixo da reta e acima da curva! Assim,

A = A_1 - A_2 ,

onde A_1 é a área do retângulo abaixo da reta e A_2 é a área abaixo da curva. O primeiro passo para resolver o problema é achar o ponto de encontro das curvas:

y = t + (1)/(t) = (5)/(2) => 2 t^2 + 2 = 5 t => 2 t^2 - 5 t + 2 = 0

Assim,

t = (5 +- sqrt(25 - 16))/(4) = (5 +- 3)/(4)

Obtemos então

t = (1)/(2) o u t = 2

Para t = 1 // 2 :

x = (1)/(2) - 2 = - (3)/(2) e y = (5)/(2)

Para t = 2 :

x = 2 - (1)/(2) = (3)/(2) e y = (5)/(2)

Portanto, os pontos de encontro são

(+- (3)/(2) , (5)/(2))

Passo 2

A área do retângulo será

A_1 = int_(- (3)/(2))^((3)/(2)) (5)/(2) d x = (5)/(2) * 2 * (3)/(2) = (15)/(2)

Já para a área sobre a curva parametrizada, usamos o método ensinado nesse capítulo:

A_2 = int_a^b y d x = int_(alpha)^(beta) y (t) x^' (t) d t

Nesse caso, alpha = 1 // 2 e beta = 2 :

A_2 = int_((1)/(2))^2 (t + (1)/(t)) (1 + (1)/(t^2)) d t = int_((1)/(2))^2 (t + (2)/(t) + (1)/(t^3)) d t

Assim,

A_2 = ((t^2)/(2) + 2 ln t - (1)/(2 t^2))_(1 // 2)^2

Portanto,

A_2 = 2 + 2 ln 2 - (1)/(8) - (1)/(8) - 2 ln (1)/(2) + 2

Logo,

A_2 = (15)/(4) + 4 ln 2

Desta forma,

A = A_1 - A_2 = (15)/(2) - (15)/(4) - 4 ln 2 = (15)/(4) - 4 ln 2

Resposta

A = (15)/(4) - 4 ln 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.30. x = l n ( s e c t + t a n t ) - s e nt ,y = c o s t ,0 ≤ t ≤ π / 3
21. Encontre a área sob um arco da ciclóide: x = a ( t - s e n t ) , y = a ( 1 - c o s t ) .
Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados.31. x = c o st ,y = 2 + s e nt ,0 ≤ t ≤ 2 π ,e i x ox
24. Encontre a área sob y = x 3 sobre [ 0,1 ] utilizando as seguintes parametrizações.a) x = t 2 ,y =t 6 . b) x = t 3 ,y =t 9 .
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.26. x = t 3 ,y = 3 t 2 / 2 ,0 ≤ t ≤ 3