Enunciado

Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:

f x = 1 x + 2

Passo 1

Vamos calcular a derivada pela definição, vamos lembrar a fórmula:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Pronto, agora vamos aplicar x + ∆ x na função:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 x + ∆ x + 2 - 1 x + 2   ∆ x

Passo 2

Agora vamos destrinchar essa expressão, vamos lá:

lim ∆ x → 0 ⁡ 1 x + ∆ x + 2 - 1 x + 2   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 x + ∆ x + 2 - 1 x + 2 ⋅ 1 ∆ x =

lim ∆ x → 0 ⁡ x + 2 - x + ∆ x + 2 x + ∆ x + 2 x + 2 ⋅ 1 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + 2 - x - ∆ x - 2 x + ∆ x + 2 x + 2 ⋅ 1 ∆ x

Pronto, destrinchamos o máximo que deu, agora é só cortar os ∆ x do numerador com o do denominador e aplicar o limite:

lim ∆ x → 0 ⁡ x + 2 - x - ∆ x - 2 x + ∆ x + 2 x + 2 ⋅ 1 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ - 1 x + ∆ x + 2 x + 2 =

= - 1 x + 0 + 2 x + 2 = - 1 x + 2 2

Tudo certo, achamos que a derivada de f x = 1 x + 2 é f ' x = - 1 x + 2 2 .

Resposta

f ' x = - 1 x + 2 2

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