Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 5
Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado , deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.
Passo 1
Temos uma folha de lado e vamos retirar em suas extremidades quadrados de lado . Logo restará para construir a caixa uma medida de lado .
O volume é dado por área da base vezes altura. A base é o quadrado de lado e a altura é , pois é o tanto que cortamos do lado e quando dobrado para cima essa medida que permanecerá. Assim temos:
Passo 2
Como queremos o volume máximo, podemos maximizar a função. Para isso vamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável . Temos então que:
Passo 3
Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja uma função derivável num intervalo e um ponto crítico de neste intervalo, isto é, . Se admite a derivada em , temos:
- Se
- Se
Assim, calculando a segunda derivada de , temos:
Aplicando os pontos críticos e em :
Portanto, o lado dos quadrados cortados deve medir unidades de medida para se obter o maior volume da caixa.