Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 40
Usando o método de redução de ordem, mostre que, se for uma raiz repetida de
então e serão soluções de para .
Passo 1
Fala Galera!!
Para resolver essa questão, vamos considerar a seguinte equação diferencial:
Podemos supor que seja solução da equação diferencial.
Passo 2
Pela suposição feita no passo anterior, precisamos encontrar e para substituir na equação. Temos que:
Então
Substituindo na equação diferencial, temos a seguinte expressão:
Simplificando
Temos que , então, para que a equação acima seja satisfeita, precisamos que
Passo 3
Nos foi dado no enunciado que é uma raiz repedida da equação
Ou seja:
Usando esse resultado na equação abaixo temos:
Logo
Isso prova que é solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, pelo método de redução de ordem, podemos considerar que é uma segunda solução da equação diferencial. Pela suposição feita, precisamos encontrar e para substituir na equação. Temos que:
Então
Substituindo na equação diferencial, temos a seguinte expressão:
Mas, temos que pelo o que foi dito no enunciado. Dessa forma, temos o seguinte:
Temos que , então, para que a equação acima seja satisfeita, precisamos que:
Simplificando, temos que:
Passo 5
Vamos considerar agora a função fornecida no enunciado:
Derivando isso temos:
Como é uma raiz repetida de , então , e assim temos que:
Isso implica que:
Substituindo o achado na equação encontrado no passo anterior, temos:
Passo 6
Assim, aplicando o método de redução de ordem, temos:
Isso implica que
Substituindo na equação encontrada no passo anterior, temos:
Voltando com a substituição, temos:
Onde e são constantes arbitrárias de integração. Podemos fazer e . Assim temos:
Assim, a segunda solução é:
Portanto, se é uma raiz repetida de então e são as duas soluções da equação diferencial .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)