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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 7

Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t   =   0,5 ;   1,0 ;   1,5   e 2,0 . Compare os resultados com os obtidos usando outros métodos e com a solução exata (se disponível).

(a) Useo método de Runge-Kutta com h   =   0,1 .

(b) Useo método de Runge-Kutta com h   =   0,05 .

1. y ' = 0,5 - t + 2 y ,     y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pro nosso primeiro probleminha sobre método de R u n g e - K u t t a .

Olha só! A nossa f ( t , y ) já sabemos que é dada por...

f t , y = 0,5 - t + 2 y

E sabemos também das seguintes condições:

t n = t 0 + n h

y 0 = 1

Sabendo disso, é uma boa utilizarmos o método de 4 ª ordem pra resolver esse nosso problema. Assim, iremos obter valores mais aproximados em cada ponto pedido.

A nossa iteração no método de R u n g e - K u t t a de 2 ª   ordem é dada por...

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

Agora presta atenção! Como o objetivo é resolver esse problema computacionalmente, o que estamos procurando aqui é fórmulas pra colocarmos em nosso código. De preferência, que estejam em função de h e das condições fornecidas pelo enunciado.

Disso isso! Bora pro que interessa! Vamos obter k 1 ...

k 1 = h f ( t n , y n )

k 1 = h ( 0.5 - t n + 2 y n )

k 1 = h ( 0.5 - n h + 2 y n )

Depois, bora descobrir k 2 , que é dado por...

k 2 = h f t n + 1 2 h , y n + k 1 2

k 2 = h 0.5 - n h + 1 2 h + 2 y n + k 1 2

Em seguida, bora partir pra obtenção de k 3   , que é igual à...

k 3 = h f t n + 1 2 h , y n + k 2 2

k 3 = h 0.5 - n h + 1 2 h + 2 y n + k 2 2

E finalmente, vamos obter k 4 ...

k 4 = h f t n + h , y n + k 3

k 4 = h 0.5 - n h + h + 2 y n + k 3

Pronto! Agora vamos pegar esses dados pra usar em nossa resolução computacional.

Passo 2

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo...

P a s s o   1 : D e f i n i r   c a d a   f u n ç ã o   d e   i t e r a ç ã o   k n

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   e   d o   v a l o r   i n i c i a l   y ( 0 )

P a s s o   3 : F a z e r   n   r e c e b e r   0 ,   p a r a   q u e   e l e   v e n h a   a   s e r   i n c r e m e n t a d o   e m   n o s s o s   c ó d i g o

P a s s o   4 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   T A M   d e   2 h   f a ç a  

P a s s o   5 :  

k 1 = h ( 0.5 - n h + 2 y n )

k 2 = h 0.5 - n h + 1 2 h + 2 y n + k 1 2

k 3 = h 0.5 - n h + 1 2 h + 2 y n + k 2 2

k 4 = h 0.5 - n h + h + 2 y n + k 3

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   6 : E s c r e v a   ( y n + 1 )

P a s s o   7 : F i m

Captou a mensagem!?

Pois bora em frente!

Passo 3

a) Desse modo, utilizando uma linguagem de programação qualquer, C ou P y t h o n ... Você é quem sabe! É possível determinar o que a gente quer. No caso, bora usar a linguagem C ...

Olha só! O seguinte código abaixo foi feito...

O legal é que esse código vai ser servir pra quase todas as questões desse seção! Só é preciso alterar um detalhe aqui e outro acolá!

Bom! Compilando ele, num total de iterações ( T A M ) igual à...

T A M = 2 h = 2 0.1 = 20

É importante ressaltar que botamos um condicional em nosso código para que ele p r i n t e apenas os valores que pede o enunciado. Podemos fazer isso, colocando um " i f " para que toda vez que a divisão de i por 5 for 0 , o programa mostrar.

Voltando ao assunto da compilação! Obtemos os seguintes valores da figura abaixo...

E de quebra, obtemos a seguinte tabela:

Passo 4

b) Já nessa letra, só basta alterar duas coisas no código confeccional. Primeiro, o valor de h   que vai ser igual a 0 . 05 .

E depois o tamanho T A M de iterações, que vai valer...

T A M = 2 0.05 = 40

Ah! Esqueci de falar! No condicional i f , dessa vez o nosso " i f " vai fazer com que toda vez que a divisão de i por 10 for 0 , o programa mostre o valor de y em j .

Desse modo, compilando o código com essas alterações... Obtemos o exposto na imagem abaixo:

Passo 5

E pra finalizar... Colocando a E D O em um software qualquer, tipo S y m b o l a b , obtemos que a solução exata dela é...

y = e 2 t + t 2

Substituindo, os valores do enunciado na equação acima...

Para t = 0.5 ;

y = e 1.0 + 0.5 2

y = 2.9682818

Para t = 1.0 ;

y = e 2.0 + 1.0 2

y = 7.8890561

Para t = 1.5 ;

y = e 3.0 + 1.5 2

y = 20.835537

Para t = 2.0 ;

y = e 4.0 + 2.0 2

y = 55.59815

Vemos que nossos valores obtidos pelo método computacional se aproximaram bem da solução exata para cada t n . Pra falar a verdade, são quase iguais... Quase iguais mesmo!

Resposta

a)

b)

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4 - (d x)/(d t) = ([[1,-,4],[4,-,7]]) x
8 - (d x)/(d t) = ([[-,1,-,1],[0,-,0,25]]) x
9 - (d x)/(d t) = ([[3,-,4],[1,-,1]]) x
6 - (d x)/(d t) = ([[2,-,5],[1,-,2]]) x
7 - (d x)/(d t) = ([[3,-,2],[4,-,1]]) x