Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 2b
Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valores.
b)
Passo 1
Vamos seguir os passos do item a). Para saber se a integral independe do caminho, bastará calcular
Se o resultado for igual a zero, então nossa integral não irá depender do caminho (nas condições do Teorema 6.4). Aqui, temos e .
Passo 2
Vamos começar calculando essas derivadas:
Assim,
o que mostra que a integral não depende do caminho. Assim, irá possuir uma função potencial tal que , ou seja,
Passo 3
Integrando a primeira equação, em relação a , temos
onde é uma “constante” que depende apenas de . Derivando a equação acima em relação a e usando a segunda equação do nosso sistema,
ou seja, ( é uma constante que não depende nem de nem de ). Sendo assim, podemos tomar . Logo,
Passo 4
Nossa integral será, por fim,
Resposta
.