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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 21

Calcule a integral de linha

int_(( 1,1 , 1 ))^(( 2,2 , 2 )) ((1)/(y)) d x + ((1)/(z) - (x)/(y^2)) d y - (y)/(z^2) d z

Passo 1

Falaaaaaa meus abençoados, tudo blz?

Então sendo,

f (x , y , z) = ((1)/(y)) i + ((1)/(z) - (x)/(y^2)) j - ((y)/(z^2)) k

(del P)/(del y) = - (1)/(z^2) = (del N)/(del z)

(del M)/(del z) = 0 = (del P)/(del x)

(del N)/(del x) = (- 1)/(y^2) = (del M)/(del y)

Passo 2

Assim vamos ter que,

M d x + N d y + P d z , vai ficar

f (x , y , z) = (x)/(y) + g (y , z) -> (del F)/(del y) = - (x)/(y^2) + (del g)/(del y) = (1)/(z) - (x)/(y^2)

-> (del g)/(del y) = (1)/(z) -> g (y , z) = (y)/(z) h (z) -> f (x , y , z) = (x)/(y) + (y)/(z) + h ( z )

-> (del F)/(del z) = - (y)/(z^2) + h^' (z) = - (y)/(z^2) -> h^' (z) = 0 -> h ( z ) = c

Com isso temos que ,

f (x , y , z) = (x)/(y) + (y)/(z) + c -> int_(( 1,1 , 1 ))^(( 2,2 , 2 )) (1)/(y) d x + ((1)/(z) - (x)/(y^2)) d y - (y)/(z^2) d z

= f (2,2 , 2) - f (1,1 , 1) = ((2)/(2) + (2)/(2) + C) - ((1)/(1) + (1)/(1) + C) = 0

Resposta

0

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