Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valores.
d) .
Passo 1
Seguindo o raciocínio dos itens anteriores, vamos começar calcular
Se o valor calculado for igual a zero, então saberemos que a integral independe do caminho. Aqui, temos e .
Passo 2
Assim, segue que a integral é independe do caminho! Logo, existe uma função potencial tal que . Ou seja,
Passo 3
Integrando a primeira equação em relação a , temos
onde é uma “constante” que depende apenas de . Derivando a relação obtida e usando a 2° equação do sistema, temos
ou seja, , onde não depende de nem de . Assim, podemos tomar . Logo,
Passo 4
Finalmente,
Resposta
.