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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 2d

Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valores.

d) ∫ 0,0 x 0 , y 0 sin ⁡ y   d x + x cos ⁡ y   d y .

Passo 1

Seguindo o raciocínio dos itens anteriores, vamos começar calcular

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Se o valor calculado for igual a zero, então saberemos que a integral independe do caminho. Aqui, temos F 1 = sin ⁡ y e F 2 = x cos ⁡ y .

Passo 2

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x cos ⁡ y = cos ⁡ y

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y sin ⁡ y = cos ⁡ y

Assim, segue que a integral é independe do caminho! Logo, existe uma função potencial φ x , y tal que ∇ φ x , y = F 1 , F 2 . Ou seja,

∂ φ ∂ x = F 1 = sin ⁡ y ∂ φ ∂ y = F 2 = x cos ⁡ y

Passo 3

Integrando a primeira equação em relação a x , temos

φ x , y = ∫ sin ⁡ y   d x = x sin ⁡ y + U y

onde U y é uma “constante” que depende apenas de y . Derivando a relação obtida e usando a 2° equação do sistema, temos

∂ φ ∂ y = x cos ⁡ y + U ' y x cos ⁡ y = x cos ⁡ y + U ' y U ' y = 0

ou seja, U y = k , onde k não depende de x nem de y . Assim, podemos tomar k = 0 . Logo,

φ x , y = x sin ⁡ y

Passo 4

Finalmente,

∫ 0,0 x 0 , y 0 sin ⁡ y   d x + x cos ⁡ y   d y = φ x , y 0,0 x 0 , y 0 = φ x 0 , y 0 - φ 0,0 ∫ 0,0 x 0 , y 0 sin ⁡ y   d x + x cos ⁡ y   d y = x 0 sin ⁡ y 0

Resposta

∫ 0,0 x 0 , y 0 sin ⁡ y   d x + x cos ⁡ y   d y = x 0 sin ⁡ y 0 .

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A partir do gráfico de F você diria que o campo é conservativo? Explique.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x ≠ 0 }
Se F → x , y = sen ⁡ y i ^ + 1 + x cos ⁡ y j ^ , use um gráfico para conjecturar se F → é conservativo. Então, determine se sua conjectura estava correta.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x0 , y0 }
Seja F = ∇ f , onde f x , y = sen ⁡ ( x - 2 y ) . Determine curvas C 1 e C 2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação. ∫ C 1 F ⋅ d r = 0 (b) ∫ C 2 F ⋅ d r = 1