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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 2c

Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valores.

c) ∫ 1,1 x 0 , y 0 2 x y   d x + x 2 - y 2   d y .

Passo 1

Vamos fazer o que fizemos nos itens anteriores. Para provar que a integral independe o caminho, devemos calcular

∂ F 1 ∂ x - ∂ F 2 ∂ y  

Se o resultado for igual a zero, então a integral independerá do caminho. Aqui, temos F 1 = 2 x y e F 2 = x 2 - y 2 .

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - y 2 = 2 x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y 2 x y = 2 x

Logo,

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Assim, a integral não dependerá do caminho.

Passo 3

Segue que existe uma função potencial φ x , y tal que ∇ φ = F . Logo,

∂ φ ∂ x = F 1 = 2 x y ∂ φ ∂ y = F 2 = x 2 - y 2

Vamos integrar a primeira equação em relação a x :

φ x , y = ∫ 2 x y   d x = x 2 y + U y

onde U y é uma “constante” que depende apenas de y . Sendo assim, derivando a equação acima em relação a y e usando a segunda equação do sistema:

∂ φ ∂ y = x 2 + U ' y x 2 - y 2 = x 2 + U ' y U ' y = - y 2 U y = ∫ - y 2   d y = - 1 3 y 3

Assim, segue que

φ x , y = x 2 y - 1 3 y 3

Passo 4

Segue que:

∫ 1,1 x 0 , y 0 2 x y   d x + x 2 - y 2   d y = φ x , y 1,1 x 0 , y 0 ∫ 1,1 x 0 , y 0 2 x y   d x + x 2 - y 2   d y = x 0 2 y 0 - 1 3 y 0 3 - 2 3 ∫ 1,1 x 0 , y 0 2 x y   d x + x 2 - y 2   d y = x 0 2 y 0 - y 0 3 3 - 2 3  

Resposta

∫ 1,1 x 0 , y 0 2 x y   d x + x 2 - y 2   d y = x 0 2 y 0 - y 0 3 3 - 2 3 .

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