Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valores.
c) .
Passo 1
Vamos fazer o que fizemos nos itens anteriores. Para provar que a integral independe o caminho, devemos calcular
Se o resultado for igual a zero, então a integral independerá do caminho. Aqui, temos e .
Passo 2
Vamos calcular as derivadas:
Logo,
Assim, a integral não dependerá do caminho.
Passo 3
Segue que existe uma função potencial tal que . Logo,
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
onde é uma “constante” que depende apenas de . Sendo assim, derivando a equação acima em relação a e usando a segunda equação do sistema:
Assim, segue que
Passo 4
Segue que:
Resposta
.