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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 8

Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada

∮ C f → ⋅ d r → , sendo f → = e x 2 + 2 y , e y 2 + x , e x 2 e C a elipse x = cos ⁡ t ,   y = 2   s e n   t ,   z = 2 ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

O teorema de Stokes nos sugere que, dada uma superfície S orientável, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes, C , então

∮ C f → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f → ⋅ n →   d S

Onde n → é o vetor normal a superfície.

Passo 2

Vamos começar nosso problema, aplicando o Teorema de Stokes e calculando o rotacional de nossa função dada. Assim

∇ × f → = i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z e x 2 + 2 y e y 2 + x e z 2

= 0 i ^ + 0 j ^ - k ^ = 0,0 , - 1

Deste ponto, vamos tomar nossa superfície e calcular nosso vetor n → .

Seja r → u , v = ( u cos ⁡ v ,   2 u   s e n   v ,   2 ) com u ∈ 0,1 e v ∈ 0,2 π .

Então temos

∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v = i ^ j ^ k ^ s e n   v   2   s e n   v 0 - u   s e n   v 2 u cos ⁡ v 0 = 2 u k ^

E temos que

f → r → u , v = ( 0,0 , - 1 )

Assim temos que

n → x , y d x d y = ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v d u d v

E

∇ × f → r → u , v ⋅ ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v = - 2 u

Passo 3

Com isso nossa integral se resume em

∫ 0 2 π ∫ 0 1 - 2 u   d u   d v = - ∫ 0 2 π u 2 0 1 d v = - 2 π

Resposta

- 2 π

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