Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada
, sendo e a elipse .
Passo 1
O teorema de Stokes nos sugere que, dada uma superfície orientável, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes, , então
Onde é o vetor normal a superfície.
Passo 2
Vamos começar nosso problema, aplicando o Teorema de Stokes e calculando o rotacional de nossa função dada. Assim
Deste ponto, vamos tomar nossa superfície e calcular nosso vetor .
Seja com e .
Então temos
E temos que
Assim temos que
E
Passo 3
Com isso nossa integral se resume em
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima. F x , y , z = ( x + y 2 ) i + ( y + z 2 ) j + ( z + x 2 ) k C é o triângulo co
Seja C uma curva suave e fechada que está no plano x + y + z = 1 . Mostre que a integral de linha ∫ C z d x - 2 x d y + 3 y d z depende só da área da região fechada por C e não da forma de C ou sua lo
Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F ∙ d S F → x , y , z = x y z i + x y j + x 2 y z k S consiste no topo e nas quatro laterais (mas não o fundo) do cubo com vértices ( ± 1 , ± 1 , ± 1 )
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S .F(x, y, z) = -y * i + x * j - 2 * k S é o cone z^2 = x^2 + y^2, 0 ≤ z ≤ 4 , orientada para baixo.
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S .F(x, y, z) = y*i + z*j + x*k S é o hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 1, y = 0 , orientado na direção positiva do eixo y