Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. I = ∬ S 4 x - y d y d z + y 2 d z d x - x y d x d y Onde S é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2 , y = 2 , z = 2 .

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 18

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.

Onde é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos .

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável . Se é a normal unitária exterior a e se é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de ordem contínuas em um domínio que contém , então

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Olhando para nossa integral dada, temos que , assim o divergente de

Agora precisamos definir os nossos limites de integração. Como estamos lidando com um cubo, temos os limites , e .

Passo 3

Assim aplicando o teorema da divergência, temos

Assim temos

Resposta

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11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Proveb. ∫ ∫ σ f ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ gd V

12 . a . Sejam u e v dois campos vetoriais de classe C1 em ℝ 3 ; seja B uma esfera com fronteira σ e normal exterior . Suponha que r o tu =r o tved i vu =d i vv . Suponha, ainda, que u · v=v · u sobre

9. Seja Ω um aberto de ℝ 3 e seja u um campo vetorial de classe C1 em Ω. Suponha que ∫ ∫ σ u → ⋅ n →d S = 0 para toda superfície esférica σ, com normal exterior u , contida em Ω. Prove, então, que u é

5. Seja v → um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω = ℝ3 - {(0, 0, 0),(1, 1, 1)} e tal que div v → = 0 em Ω. Sejam σ 1e σ 2 superfícies esféricas de centros (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente,

11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Provea. ∫ ∫ σ ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B ∇ 2 gd V