Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 18

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.

I = ∬ S 4 x - y d y d z + y 2 d z d x - x y d x d y

Onde S é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2 , y = 2 , z = 2 .

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Olhando para nossa integral dada, temos que f → = 4 x - y , y 2 , - x y , assim o divergente de f →   é

∇ ⋅ f → = 4 + 2 y

Agora precisamos definir os nossos limites de integração. Como estamos lidando com um cubo, temos os limites x ∈ 0,2 , y ∈ 0,2 e z ∈ 0,2 .

Passo 3

Assim aplicando o teorema da divergência, temos

∬ S f → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 4 + 2 y ) d y d x d z

Assim temos

∫ 0 2 ∫ 0 2 4 y + y 2 0 2 d x d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 12 d x d z = 48

Resposta

48

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Proveb. ∫ ∫ σ f ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ gd V
12 . a . Sejam u e v dois campos vetoriais de classe C1 em ℝ 3 ; seja B uma esfera com fronteira σ e normal exterior . Suponha que r o tu =r o tved i vu =d i vv . Suponha, ainda, que u · v=v · u sobre
9. Seja Ω um aberto de ℝ 3 e seja u um campo vetorial de classe C1 em Ω. Suponha que ∫ ∫ σ u → ⋅ n →d S = 0 para toda superfície esférica σ, com normal exterior u , contida em Ω. Prove, então, que u é
5. Seja v → um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω = ℝ3 - {(0, 0, 0),(1, 1, 1)} e tal que div v → = 0 em Ω. Sejam σ 1e σ 2 superfícies esféricas de centros (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente,
11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Provea. ∫ ∫ σ ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B ∇ 2 gd V