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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 11

Calcular ∬ S r o t   g → ⋅ n → d S , sendo g → = ( x y 2 , x , z 3 ) e S qualquer superfície suave delimitada pela curva r → t = 2 cos ⁡ t ,   3 s e n   t , 1 ,   0 ≤ t ≤ 2 π , com a normal apontada para cima

Passo 1

O teorema de Stokes nos sugere que, dada uma superfície S orientável, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes, C , então

∮ C g → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × g → ⋅ n →   d S

Onde n → é o vetor normal a superfície.

Passo 2

A parametrização que o exercício nos dá é referente a uma elipse centrada na origem e presente no plano z = 1 . Entretanto queremos entrever a superfície desta curva dada. Assim tomamos então que

r → u , v = 2 u cos ⁡ v , 3   u   s e n   v ,   1

Com u ∈ 0,1 e v ∈ 0,2 π .

Desta forma podemos começar a calcular nosso n → u , v

Então primeiramente tome

∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v = i ^ j ^ k ^ 2 cos ⁡ v 3 s e n   v 0 - 2 u   s e n   v 3 u cos ⁡ v 0 = 6 u k ^

Que é um vetor que aponta para cima, assim como solicitado.

Desta forma temos que

n → u , v d S = 0,0 , 6 u d u d v

Vamos agora calcular o rotacional de g →

∇ × g → = i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z x y 2 x z 3 = 0 i ^ + 0 j ^ + ( 1 - 2 x y ) k ^ = ( 0,0 , 1 - 2 x y )

Isso quer dizer que

∇ × g → r → u , v = ( 0,0 , 1 - 12 u 2 cos ⁡ v s e n v )

E tomando

∇ × g → r → x , y ⋅ ∂ r → ∂ x × ∂ r → ∂ y = 6 u - 36 u 3 s e n ( 2 v )

Onde agora podemos escrever nossa integral da seguinte forma

∬ R 6 u - 36 u 3 s e n 2 v d u d v

Na qual R é a projeção da nossa superfície no plano x y , ou seja, z = 0

Como estamos limitados em z ≥ 0 , temos que a projeção sugere que r ∈ 0,1 , enquanto θ ∈ 0,2 π

Passo 3

Finalmente temos a seguinte integral

A primeira integral é dada por

∫ 0 1 ∫ 0 2 π 6 u   d v   d u = 6 π

Já a segunda integral

36 ∫ 0 1 ∫ 0 2 π u 3 s e n 2 v d v d u = 36   ∫ 0 1 u 3 d u ∫ 0 2 π s e n ( 2 v )   d v

Somente olhando para a integral do s e n ( 2 v ) temos

∫ 0 2 π s e n 2 v d v = ( cos ⁡ 2 v 2 0 2 π = 0

Logo a segunda integral é toda nula e temos como resultado final 6 π

Resposta

6 π

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