Seja uma curva suave e fechada que está no plano . Mostre que a integral de linha

depende só da área da região fechada por e não da forma de ou sua localização no plano.

Vamos comçar calcular o rotacional de .

Daí, tiramos que nossa função é

Calculando o rotacional:

Nossa função tem a estrutura:

Temos que:

Então:

Fazendo cada derivada:

Portanto:

Agora, precisamos calcular o vetor normal à superfície :

Quando temos um plano

O vetor normal a esse plano é dado por:

No nosso caso, temos o plano:

Mas a gente precisa que vetor seja além de normal, também unitário, ou seja de comprimento . Para isso é só dividirmos o vetor pelo seu módulo, que a gente consegue somandoo quadrado das componentes:

Então nosso vetor normal unitário é:

Como precisamos achar:

Agora podemos fazer o produto escalar:

Multiplicando componente por componente e somando tudo:

Então, nossa integral será:

Tirando a constante para fora:

Mas a integral dupla de é a área da nossa região, então:

A área de uma região, depende somente de seus limites, não importando sua localização no espaço ou sua forma.

Pronto, como queríamos demonstrar!