Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 5

Use o Teorema de Stokes para calcular

consiste no topo e nas quatro laterais (mas não o fundo) do cubo com vértices , orientada para fora.

Passo 1

Faaala minha turma, beleza!?

Precisamos usar o Teorema de Stokes para calcular:

Onde,

consiste no topo e nas quatro laterais (mas não o fundo) do cubo com vértices , orientada para fora.

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por:

Onde, é o rot(rotacional). Desse jeito:

A fronteira da superfície e a face do fundo do cubo são a mesma. Assim, pelo Teorema de Stokes nós podemos dizer que

onde é a superfície, é o fundo do cubo e o é a fronteira comum, que é o plano .

Importante lembrar que o rotacional é expresso por:

Onde saem do campo :

E que , pode ser representado como:

Ao invés de calcular a integral de linha de , que não é suave e consiste de quatro segmentos de reta, nós vamos calcular a integral de superfície através do fundo do cubo. O fundo deve ser orientado para cima.

Mas por que? O Teorema de Stokes e a regra da mão direita nos diz que é orientada no sentido anti-horário. Novamente, o Teorema de Stokes e a regra da mão direita nos diz que é orientada para cima porque é orientada no sentido anti-horário.

Agora já conseguimos montar a integral!

Vamos nessa!

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

Sabemos que:

Também pode ser representado como:

Porque o vetor normal aponta na direção ? Lembra que estamos calculando a integral de superfície através do fundo do cubo. E pela regra de Stokes, deve ser sentido anti-horário, e isso gera o vetor normal apontando para cima.

E sabemos que o rotacional é:

Onde,

Portanto, substituindo na integral ficamos com:

Passo 3

Fazendo o produto escalar, vamos ter:

Dado que o campo vetorial é:

Temos que as derivadas parciais são:

Assim, a integral fica:

Para todos os pontos na superfície sabemos que .

Logo, ficamos com a seguinte integral:

Passo 4

Sabemos que , pode ser escrito como:

Mas já vimos, que estamos no plano . Ele não depende de e , logo as derivadas são zero.

Assim, temos:

Como esse cubo está centrado na origem, temos os intervalos de x e y são:

Veja a figura a baixo:

Substituindo o valor na integral, temos que:

Passo 5

Agora vamos integrar.

Lembrando que começamos a integrar de dentro para fora. Mas observe que os limites de integração são iguais e numerais, então nesse caso tanto faz a ordem que iriamos começar.

Mas vamos começar integrando em . Integrando, vamos ter: