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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 13

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S .

F x , y , z = - y i + x j - 2 k

S é o cone z 2 = x 2 + y 2 ,   0 ≤ z ≤ 4 , orientada para baixo.

Passo 1

E ai galera, tudo na paz!?

Precisamos verificar se o teorema se Stokes é verdadeiro para o seguinte campo:

F x , y , z = - y i + x j - 2 k

Através da superfície S , onde S é: o cone z 2 = x 2 + y 2 ,   0 ≤ z ≤ 4 , orientada para baixo.

Vamos começar, e fazer uma estratégia juntos!

Bom, o Teorema de Stokes é dada por:

Onde, c u r l é o rot(rotacional). Desse jeito:

∫ C F ∙ d r = ∬ S r o t F ∙ d S

Inicialmente, vamos calcular:

∫ C F ∙ d r

A fronteira de S é o círculo onde z = 4 , assim:

z 2 = x 2 + y 2 ,     0 ≤ z ≤ 4

x 2 + y 2 = 4 2

Logo, sabemos que a representação paramétrica do círculo de raio 4 é:

r = 4 cos ⁡ t , 4 sen ⁡ t , 4 ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Para achar o d r , basta derivarmos r em relação a t . Ficando assim:

d r d t = - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , 0

d r = - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , 0 d t

Dado que o campo vetorial é:

F = - y i + x j - 2 k

Substituindo os valores de r no campo vetorial, temos:

F r t = ( - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , - 2 )

Agora, devemos calcular o valor de:

∬ S r o t ( F ) ∙ d S

Se F = P i + Q j + R k , temos que

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Quando você achar o rotacional, deve fazer a seguinte relação:

∬ S G ∙ d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

onde G = P i + Q j + R k .

E,

g x , y = z = x 2 + y 2

Ai é só aplicar as derivadas parciais em relação a x e y , e depois substituir tudo na integral!

Agora o resto é com vocês, é só substituir na integral!

Bora lá!

Passo 2

Vamos montar a integra de linha:

∫ C F ∙ d r

Vimos que:

F r t = ( - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , - 2 )

E,

d r = - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , 0 d t

Substituindo, temos:

∫ C F ∙ d r = ∫ 2 π 0 - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , - 2 ⋅ - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , 0 d t

Repare que os intervalos de integração ficaram de 2 π até 0 . Isso aconteceu porque ele pediu no enunciado a orientação para baixo, e pela regra da mão direito, estamos percorrendo a curva C no sentido horário.

Fazendo o produto escalar, vamos ficar com:

∫ C F ∙ d r = ∫ 2 π 0 16 sen 2 ⁡ t + 16 cos 2 ⁡ t d t

Utilizando a relação trigonométrica:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Teremos:

∫ C F ∙ d r = 16 ∫ 2 π 0 d t

Integrando em d t , vamos ter como resposta:

∫ C F ∙ d r = - 32 π

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de:

∬ S r o t ( F ) ∙ d S

Se F = P i + Q j + R k , temos que

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Dado que F = - y i + x j - 2 k .

Vamos ter:

r o t F = 0 - 0 i + 0 - 0 j + 1 - - 1 k

r o t F = 2 k

Vamos fazer uso da seguinte igualdade:

∬ S G ∙ d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

onde G = P i + Q j + R k .

No entanto, a fórmula é usada quando a superfície é orientada para cima, ao invés de orientada para baixo. Logo, a nossa resposta precisa de um sinal negativo!

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de z = x 2 + y 2 :

∂ g ∂ x = x x 2 + y 2

∂ g ∂ y = y x 2 + y 2

Assim,

∬ S r o t ( F ) ∙ d S = ∬ D - ( 0 ) x x 2 + y 2 - ( 0 ) y x 2 + y 2 + ( 2 )   d A

∬ S r o t F ∙ d S = 2 ∬ D d A

A região D é a projeção a superfície no plano x y .

No nosso caso, é a região dentro da circunferência x 2 + y 2 = 4 2 ,     z = 0 .

Assim, a integral dupla de d A é igual a própria área do círculo:

∬ D d A =   π r 2 = 16 π

Logo, substituindo temos que:

∬ S r o t F . d S = 2 ∬ D d A = 32 π

A formula que usamos é para superfícies orientadas para cima. Agora, precisamos trocar o sinal para obter a resposta final!

∬ S r o t F . d S = 2 ∬ D d A = - 32 π

Resposta

É verdadeiro!

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Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada ∮ C f → ⋅ d r → , sendo f → = e x 2 + 2 y , e y 2 + x , e x 2 e C a elipse x = cos ⁡ t ,y = 2s e nt ,z = 2 ,0 ≤ t ≤ 2 π .
Considere o escoamento bidimensional na região Ω = {(x, y) ∈ R 2 | − 3 v → x , y = 1 - x 2 9 j → .Desenhe tal campo de velocidade.O escoamento é irrotacional?
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = y z vec i + x z vec j + x y vec k
Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →