Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S . F x , y , z = - y i + x j - 2 k S é o cone z 2 = x 2 + y 2 ,0 ≤ z ≤ 4 , orientada para baixo.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 13

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial e superfície .

é o cone , orientada para baixo.

Passo 1

E ai galera, tudo na paz!?

Precisamos verificar se o teorema se Stokes é verdadeiro para o seguinte campo:

Através da superfície , onde é: o cone , orientada para baixo.

Vamos começar, e fazer uma estratégia juntos!

Bom, o Teorema de Stokes é dada por:

Onde, é o rot(rotacional). Desse jeito:

Inicialmente, vamos calcular:

A fronteira de é o círculo onde , assim:

Logo, sabemos que a representação paramétrica do círculo de raio é:

Para achar o , basta derivarmos r em relação a . Ficando assim:

Dado que o campo vetorial é:

Substituindo os valores de no campo vetorial, temos:

Agora, devemos calcular o valor de:

Se , temos que

Quando você achar o rotacional, deve fazer a seguinte relação:

onde .

Ai é só aplicar as derivadas parciais em relação a e , e depois substituir tudo na integral!

Agora o resto é com vocês, é só substituir na integral!

Bora lá!

Passo 2

Vamos montar a integra de linha:

Vimos que:

Substituindo, temos:

Repare que os intervalos de integração ficaram de até . Isso aconteceu porque ele pediu no enunciado a orientação para baixo, e pela regra da mão direito, estamos percorrendo a curva no sentido horário.

Fazendo o produto escalar, vamos ficar com:

Utilizando a relação trigonométrica:

Teremos:

Integrando em , vamos ter como resposta:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de:

Se , temos que

Dado que .

Vamos ter:

Vamos fazer uso da seguinte igualdade:

onde .

No entanto, a fórmula é usada quando a superfície é orientada para cima, ao invés de orientada para baixo. Logo, a nossa resposta precisa de um sinal negativo!