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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 9

Desenha o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema algébrico computacional tanto para computar as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu plano tangente). Em seguida faça uma ampliação até que sua superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis.

f x , y = e -   x 2 + y 2 15 s e n 2 x + cos 2 ⁡ y

2 ,   3 ,   f 2,3

Passo 1

Show de bola, galera. A gente tem aqui uma questão gráfica de planos tangentes.

Basicamente precisamos plotar essa função e esse plano seguindo as especificações da questão? Mas como fazemos isso, e onde?

Você pode plotar esses gráficos em qualquer software! Idealmente se usaria o MATLAB, mas também temos softwares gratuitos como o GeoGebra!

Tá, mas e como eu encontro esse plano?

Para uma função f x , y = z com derivadas parciais contínuas, podemos descrever a equação do plano tangente no ponto x 0 , y 0 , z 0 como:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Assim, só precisamos definir todos os termos dessa equação e jogar no software!

Passo 2

A função nos diz para usar o ponto x 0 , y 0 , z 0 = 2 ,   3 ,   f 2,3

Então vamos começar definindo o valor de z 0 !

Substituindo os valores de x e y na função, encontramos

f x , y = 0.75953

De forma que

x 0 , y 0 , z 0 = 2 ,   3 ,   4,3

Passo 3

Agora precisamos encontrar as derivadas parciais para substituir na equação do plano

Utilizando o próprio software de sua escolha, chegamos nas seguintes derivadas parciais

f x = - 2 15 ( e - x 2 - y 2 15 x ( s e n 2 x + cos 2 ⁡ y ) )   + e - x 2 - y 2 15 s e n ( 2 x )

f y = - 2 e - x 2 - y 2 15 y sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ y - 15 e - x 2 - y 2 15 s e n ⁡ ( 2 y ) 15

Dessa forma, substituindo na fórmula do plano tangente, teremos o seguinte:

z = f x 2,3 ( x - 2 ) + f y 2,3 ( y - 3 ) + f ( 2,3 )

Aplicando o ponto nós encontramos:

f 2 ,   3 = 0.75953

f x 2 ,   3 = - 0.52066

f y 2 ,   3 = - 0.1864

Passo 4

Utilizando agora o Geogebra para plotar a função f e o plano tangente nós teremos:

Agora se ampliarmos:

Onde o ponto A é o ponto ( 2,3 , 0.75953 ) .

Resposta

Gráficos do passo 2.

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