Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.9 - Ex. 17
- Calcule , onde é o sólido delimitado pelo elipsoide . Utilize a transformação , , .
- A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por uma elipsoide com km e km. Use o item (a) para estimar o volume da Terra.
Passo 1
E aí, turma! Tudo certo?
A questão aqui tem duas partes:
A parte (a) pede para calcularmos:
Que a gente já sabe que representa um volume, onde é o sólido delimitado pelo elipsoide utilizando a transformação:
Geralmente, se usa uma transformação de coordenadas para simplificar o domínio de integração. Para isso vamos precisar do cálculo do Jacobiano da transformação que é o determinante de uma matriz composta das derivadas parciais em relação a e :
Então, a equação que precisamos resolver para a transformação é:
Então, nosso primeiro passo é calcular cada derivada parcial que compõe nossa matriz e achar o valor do seu determinante:
Assim, é só substituímos na nossa equação.
Já a parte (b) da questão pede pra gente usar o resultado dessa nossa integral com variáveis transformadas para achar o volume da Terra que é aproximada por uma elipsoide com
km
e
km
Então, como na parte (a) vamos partir de uma elipse em termos gerais, só vamos precisar substituir os valores de e no nosso resultado.
Vamos lá!
Passo 2
- Para calcular essa integral vamos usar:
- Substituindo os valores de , e na integral que achamos no passo anterior:
Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:
Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.
Temos que é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir cada derivada parcial que encontramos no passo anterior e calcular seu determinante:
Substituindo os valores, podemos tirar o determinante da matriz:
Passo 4
Podemos ver a região como o elipsoide
vamos substituir as transformações nele:
Ficamos então com:
Simplificando:
O que nos dá uma imagem
Isso é pra gente a equação de uma esfera, tal qual:
podemos então dizer que e integrar usando coordenadas esféricas.
A vantagem de usar a transformação é que saímos de uma região em forma de elipse, que é mais complexa, para uma região esférica, que é mais fácil de descrever em coordenadas esféricas.
Passo 5
Agora vamos substituir na integral:
Como estamos trabalhando com coordenadas esféricas, podemos escrever:
Substituímos o Jacobiano que encontramos no passo 3:
E como não temos função no integrando fazemos:
E nossos limites de integração para uma esfera de raio 1 em coordenadas esféricas são:
Assim ficamos com:
Passo 6
Bora resolver nossa integral então:
Tirando a contaste para fora da integral tripla:
Começando com a integral de dentro em relação a , tratando as demais variáveis como constante:
Aplicando os limites de integração:
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Integrando finalmente em :
Aplicando os limites:
Calculando os valores:
Prontinho! Chegamos no resultado:
Terminamos nossa parte a)! Partiu letra b)!
Passo 7
Substituindo para os dados do elipsoide da Terra:
km
e
km
Temos: