Use um CAS para encontrar a massa e o centro de gravidade da lâmina dada de densidade δ .A lâmina delimitada pelo gráfico de y = cos ⁡ x , y = s e nx , x = 0 ,x = π / 4 ; δ = 1 + 2 .

m = 1 x - ,y - = 2 π 4 - 1 1 + 2 , 2 + 1 4

Enunciado

A ideia aqui é encontrar a massa pela expressão:

Já que a densidade é constante. E encontrar o centro de gravidade usando nossas fórmulinhas:

Vamos começar!

Primeiro, vamos achar a área da nossa lâmina:

A região descrita por ela é limitada por cima pela função e por baixo pela função . Pelo gráfico, vemos que nossa região está no intervalo .

Podemos então dizer que a área pode ser achada pela integral:

Então a massa é:

Vamos achar as coordenadas do centro de gravidade por integração. Primeiro a coordenada :

No eixo , nossa região está entre (por cima) e (por baixo). E em , entre e .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

Usando um CAS para resolver a integral (a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

Agora a coordenada . A gente pode usar essa fórmula aqui:

No eixo , nossa região está entre (por cima) e (por baixo). E em , entre e .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

Usando um CAS para resolver a integral (a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

Temos que o nosso centro de gravidade está no ponto: