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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 32

Resolva a integral:

∫ π 4 π 3 csc 2 ⁡ t d t

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que resolver a integral

∫ π 4 π 3 csc 2 ⁡ t d t

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema vamos aplicar a parte 2 do TFC!

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F x é a função primitiva de f x , ou seja, F ' x = f x .

Então temos que encontrar a função primitiva de f t = csc 2 ⁡ t e aplicar no teorema.

Veja só!

Passo 2

Se lembrarmos das derivadas trigonométricas, temos...

d d t cot ⁡ t = - csc 2 ⁡ t

Então a função primitiva de f t = csc 2 ⁡ t é dada por

F t = - cot ⁡ t + C

Para confirmar, vamos ver que F ' t = f t .

Agora se aplicarmos a parte 2 do TFC, temos:

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ π 4 π 3 csc 2 ⁡ t d t = - cot ⁡ π 3 + C - - cot ⁡ π 4 + C

∫ π 4 π 3 csc 2 ⁡ t d t = - 1 3 + C - - 1 + C

Perceba que sempre que temos uma integral definida, as constantes de integração C se calcelam.

∫ π 4 π 3 csc 2 ⁡ t d t = - 1 3 + 1

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ π 4 π 3 csc 2 ⁡ t d t = - 1 3 + 1

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