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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 21

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Abaixo do plano 2 x + y + z = 4 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão, temos uma plano de equação

2 x + y + z = 4

E um disco

x 2 + y 2 ≤ 1

E temos que encontrar o volume do sólido entre eles. Tranquilo né? Mas calma, isso deve ser feito em coordenadas polares. Então primeiramente iremos converter tudo isso para coordenadas polares, e então escrever a função e os limites de integração em função de r e de θ . Então nosso procedimento de solução seguirá dessa forma:

  1. Vamos escrever a função do disco em coordenadas polares para colocar como os limites de integração da integral dupla.
  2. Vamos encontrar o ponto que o paraboloide intercepta o disco fazendo z = 0 , e escrever a função em forma de coordenadas polares.
  3. Resolver a seguinte integral dupla:

∬ D z d A

Passo 2

Em coordenadas polares, temos que:

x 2 + y 2 = r 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Sendo assim, quando nos é dada a condição de que 2 x + y + z = 4 temos:

z = 4 - 2 x - y

Para encontrar onde eles se interceptam fazemos z = 0 , temos:

2 x + y = 4

r 2 ≤ 1

Sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

Temos que:

V = ∬ D z d A

Nosso z é z = 4 - 2 x - y

Vamos escrever z em coordenadas polares.

Só que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Então:

z = 4 - 2 rcos ⁡ θ - rsen ⁡ θ

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 - 2 r cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ ⋅ r d r d θ

Fazendo a distributiva com r

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r - 2 r 2   cos ⁡ θ - r 2 sen ⁡ θ d r d θ

Passo 4

Resolvendo a integral de “dentro”, temos:

∫ 0 1 4 r - 2 r 2   cos ⁡ θ - r 2 sen ⁡ θ d r = 4 r 2 2 0 1 - cos ⁡ θ 2 r 3 3 0 1 - sen ⁡ θ r 3 3 0 1

Aplicando os limites de integração:

4 2 - 2 3 cos ⁡ θ - 1 3 sen ⁡ θ

Simplificando:

2 - 2 3 cos ⁡ θ - 1 3 sen ⁡ θ

Passo 5

Agora precisamos resolver a integral “de fora”

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r - 2 r 2   cos ⁡ θ - r 2 sen ⁡ θ d r d θ = ∫ 0 2 π 2 - 2 3 cos ⁡ θ - 1 3 sen ⁡ θ d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 2 - 2 3 cos ⁡ θ - 1 3 sen ⁡ θ d θ = 2 θ 0 2 π - - 2 3 sin ⁡ θ 0 2 π - 1 3 cos ⁡ θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

2 2 π - 2 0 + 2 3 sin ⁡ 2 π - 2 3 sin ⁡ 0 - 1 3 cos ⁡ 2 π + 1 3 cos ⁡ 0

4 π - 0 + 0 - 0 - 1 + 1

4 π

Portanto o volume vale:

V = 4 π

Resposta

V = 4 π

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Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do anel 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 .
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Uma esfera d raio a .
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e o plano z = 7 no primeiro octante.
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro tanto do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64 .
Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .