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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.6 - Ex. 13

Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.

x 2 = y 2 + 4 z 2

Passo 1

Bom, pessoal. Primeiro, vamos fazer os cortes, igualando cada variável a uma constante arbitrária k . Vamos começar com x :

  • x = k :

    • x 2 = y 2 + 4 z 2

    k 2 = y 2 + 4 z 2

    y 2 k 2 + z 2 k 2 4 = 1

    Então esse corte é uma elipse, desde que k ≠ 0 .

    Passo 2

    Continuando:

  • y = k :

    • x 2 = k 2 + 4 z 2

    x 2 - 4 z 2 = k 2

    x 2 k 2 - z 2 k 2 4 = 1

    Aqui temos uma hipérbole pra k ≠ 0 . Se k = 0 , teremos:

    x 2 - 4 z 2 = 0

    x 2 = 4 z 2

    x = ± 2 z

    Então teremos duas retas quando y = 0 , beleza?

    Passo 3

  • z = k :

x 2 = y 2 + 4 k 2

x 2 - y 2 = 4 k 2

x 2 4 k 2 - y 2 4 k 2 = 1

Da mesma forma, temos uma hipérbole pra k ≠ 0   . Se k = 0 , vamos ter:

x 2 - y 2 = 0

x = ± y

Então também teremos duas retas quando z = 0 , certo?

Passo 2

Show! Juntando todas essas informações, podemos esboçar a superfície:

Veja que isso é um cone elíptico com eixo no eixo x , né mesmo?

Resposta

Cone elíptico

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(a) Encontre e identifique os cortes da superfície quádrica x 2 + y 2 - z 2 = 1 e explique por que o gráfico parece com o gráfico do hiperboloide de uma folha da Tabela 1 .(b) Se trocarmos a equação e
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies. 4 x 2 + 9 y 2 + z = 0