Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = 5 - x ; 0,5

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 5 - 0 n = 5 n

x k * = 5 k - 1 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 5 - 5 k - 1 n 5 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 5 n - 5 k - 1 n   5 n

Vamos retirar a constante...

A = lim n → ∞ 5 n ⁡ ∑ k = 1 n 5 n n - 5 k n + 5 n  

Separamos agora...

A = lim n → ∞ 5 n ⁡ 5 ∑ k = 1 n 1 - 5 n ∑ k = 1 n k + 5 n ∑ k = 1 n 1

Resolvendo os somatórios agora...

A = l i m n → ∞ 5 n 5 n - 5 n n n + 1 2 + 5 n n  

A = l i m n → ∞ 5 n 5 n - 5 n + 1 2 + 5  

A = l i m n → ∞ 25 - 25 2 - 25 2 n + 25 n  

A = 25 - 25 2

A = 25 2

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da esquerda😊

Resposta

A = 25 2

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