Encontre dy/dx derivando implicitamente.

y sen^(2)(x) = x sen^(2)(y)

Passo 1

O enunciado fornece uma equação que dá y em função de x de forma implícita. Como devemos achar y ' , é pedido que derivemos implicitamente a equação para assim encontra-lo!!!

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, (f (y))^' = f^' (y) * y ' .

Derivando a equação y s e n x^2 = x s e n y^2 com relação a x , temos que

y^' * s e n x^2 + y * cos x^2 * 2 x = 1 * s e n y^2 + x * cos y^2 * 2 y * y '

Assim,

s e n x^2 y^' + 2 x y cos x^2 = s e n y^2 + 2 x y cos y^2 y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y^' (s e n x^2 - 2 x y cos y^2) = s e n y^2 - 2 x y cos x^2

y^' = (s e n y^2 - 2 x y cos x^2)/(s e n x^2 - 2 x y cos y^2)

Resposta

R: y^' = (s e n y^2 - 2 x y cos x^2)/(s e n x^2 - 2 x y cos y^2)

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