Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 24
Seja . Mostre que
Passo 1
A questão fornece uma função que satisfaz a seguinte propriedade:
E pede para mostramos que
Para isso, vamos a regra da cadeia. Mas antes disso, precisamos reescrever:
Com
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de pela regra da cadeia:
Mas como :
Já para :
E para :
Assim, teremos
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais de podemos partir para a expressão:
Substituindo as derivadas calculadas no passo anterior:
Portanto, provamos que
Resposta
Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Determine uma família de funções que verifiquem a equação x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 0 .
f (x , y) = (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3)) verifica a equação x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) = - f ? Por quê?
Seja f x , y =x 3 x 2 + y 2 0 ,s ex , y = ( 0,0 ) ,s ex , y ≠ ( 0,0 ) Verifique que f t x ,t y = t f x , y , para todo x e y . Olhe para a questão e responda: f é diferenciável em ( 0,0 ) ?Por quê ?
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que
Seja f defninda em R 2 , diferenciável em ( 0,0 ) e tal que f t x , t y = t f ( x , y ) para todo t ∈ R e todo x , y ∈ R 2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f x , y = a