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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 24

Seja F (x , y , z) = f ((x)/(y) , (y)/(z) , (z)/(x)) . Mostre que

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z) = 0

Passo 1

A questão fornece uma função F que satisfaz a seguinte propriedade:

F (x , y , z) = f ((x)/(y) , (y)/(z) , (z)/(x))

E pede para mostramos que

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z) = 0

Para isso, vamos a regra da cadeia. Mas antes disso, precisamos reescrever:

f ((x)/(y) , (y)/(z) , (z)/(x)) = f ( u , v , w )

Com

u = (x)/(y) , v = (y)/(z) e w = (z)/(x)

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de F pela regra da cadeia:

(del F)/(del x) = (del f)/(del u) * (del u)/(del x) + (del f)/(del w) * (del w)/(del x)

(del F)/(del y) = (del f)/(del u) * (del u)/(del y) + (del f)/(del v) * (del v)/(del y)

(del F)/(del z) = (del f)/(del v) * (del v)/(del z) + (del f)/(del w) * (del w)/(del z)

Mas como u = x // y :

(del u)/(del x) = (1)/(y) e (del u)/(del y) = - (x)/(y^2)

Já para v = y // z :

(del v)/(del y) = (1)/(z) e (del v)/(del z) = - (y)/(z^2)

E para w = z // x :

(del w)/(del z) = (1)/(x) e (del w)/(del x) = - (z)/(x^2)

Assim, teremos

(del F)/(del x) = (1)/(y) * (del f)/(del u) - (z)/(x^2) * (del f)/(del w)

(del F)/(del y) = - (x)/(y^2) * (del f)/(del u) + (1)/(z) * (del f)/(del v)

(del F)/(del z) = - (y)/(z^2) * (del f)/(del v) + (1)/(x) * (del f)/(del w)

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais de F podemos partir para a expressão:

I = x (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z)

Substituindo as derivadas calculadas no passo anterior:

I = (x)/(y) * (del f)/(del u) - (z)/(x) * (del f)/(del w) - (x)/(y) * (del f)/(del u) + (y)/(z) * (del f)/(del v) - (y)/(z) * (del f)/(del v) + (z)/(x) * (del f)/(del w) = 0

Portanto, provamos que

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z) = 0

Resposta

Demonstração.

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Determine uma família de funções que verifiquem a equação x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 0 .
f x , y = e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3 verifica a equação x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = - f ? Por quê?
Seja f x , y =x 3 x 2 + y 2 0 ,s ex , y = ( 0,0 ) ,s ex , y ≠ ( 0,0 ) Verifique que f t x ,t y = t f x , y , para todo x e y . Olhe para a questão e responda: f é diferenciável em ( 0,0 ) ?Por quê ?
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que
Seja f defninda em R 2 , diferenciável em ( 0,0 ) e tal que f t x , t y = t f ( x , y ) para todo t ∈ R e todo x , y ∈ R 2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f x , y = a