Seja F (x , y , z) = f ((x)/(y) , (y)/(z) , (z)/(x)) . Mostre que

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z) = 0

Passo 1

A questão fornece uma função F que satisfaz a seguinte propriedade:

F (x , y , z) = f ((x)/(y) , (y)/(z) , (z)/(x))

E pede para mostramos que

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z) = 0

Para isso, vamos a regra da cadeia. Mas antes disso, precisamos reescrever:

f ((x)/(y) , (y)/(z) , (z)/(x)) = f ( u , v , w )

Com

u = (x)/(y) , v = (y)/(z) e w = (z)/(x)

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de F pela regra da cadeia:

(del F)/(del x) = (del f)/(del u) * (del u)/(del x) + (del f)/(del w) * (del w)/(del x)

(del F)/(del y) = (del f)/(del u) * (del u)/(del y) + (del f)/(del v) * (del v)/(del y)

(del F)/(del z) = (del f)/(del v) * (del v)/(del z) + (del f)/(del w) * (del w)/(del z)

Mas como u = x // y :

(del u)/(del x) = (1)/(y) e (del u)/(del y) = - (x)/(y^2)

Já para v = y // z :

(del v)/(del y) = (1)/(z) e (del v)/(del z) = - (y)/(z^2)

E para w = z // x :

(del w)/(del z) = (1)/(x) e (del w)/(del x) = - (z)/(x^2)

Assim, teremos

(del F)/(del x) = (1)/(y) * (del f)/(del u) - (z)/(x^2) * (del f)/(del w)

(del F)/(del y) = - (x)/(y^2) * (del f)/(del u) + (1)/(z) * (del f)/(del v)

(del F)/(del z) = - (y)/(z^2) * (del f)/(del v) + (1)/(x) * (del f)/(del w)

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais de F podemos partir para a expressão:

I = x (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z)

Substituindo as derivadas calculadas no passo anterior:

I = (x)/(y) * (del f)/(del u) - (z)/(x) * (del f)/(del w) - (x)/(y) * (del f)/(del u) + (y)/(z) * (del f)/(del v) - (y)/(z) * (del f)/(del v) + (z)/(x) * (del f)/(del w) = 0

Portanto, provamos que

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z) = 0

Resposta

Demonstração.

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