Seja . Mostre que
Passo 1
A questão fornece uma função que satisfaz a seguinte propriedade:
E pede para mostramos que
Para isso, vamos a regra da cadeia. Mas antes disso, precisamos reescrever:
Com
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de pela regra da cadeia:
Mas como :
Já para :
E para :
Assim, teremos
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais de podemos partir para a expressão:
Substituindo as derivadas calculadas no passo anterior:
Portanto, provamos que
Resposta
Demonstração.
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Determine uma família de funções que verifiquem a equação x * (∂f / ∂x) + y * (∂f / ∂y) = 0 .
f(x, y) = (e^(x/y) + arctan(x/y) + sen(cos(x/y))) / raiz(x^3 + y^3) verifica a equação x * (∂f/∂x) + y * (∂f/∂y) = -f ? Por quê?
Seja f x , y =x 3 x 2 + y 2 0 ,s ex , y = ( 0,0 ) ,s ex , y ≠ ( 0,0 ) Verifique que f t x ,t y = t f x , y , para todo x e y . Olhe para a questão e responda: f é diferenciável em ( 0,0 ) ?Por quê ?
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que
Seja f defninda em R^2 , diferenciável em (0,0) e tal que f(tx, ty) = t * f(x, y) para todo t ∈ R e todo (x, y) ∈ R^2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a eb tais que f(x, y) = a*x + b*