Enunciado

Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = y ⋅ cos ⁡ x - y

( 2 ,   2 ,   2 )

Passo 1

Show de bola, galera. A gente tem aqui uma questão de planos tangentes, vamos lá!

A questão nos dá a função z e um ponto ( 2 ,   2 ,   2 ) , mas como encontrar essa equação?

Para uma função f x , y = z com derivadas parciais contínuas, podemos descrever a equação do plano tangente no ponto x 0 , y 0 , z 0 como:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Dessa forma, só precisamos encontrar as derivadas parciais f x e f y para substituir nessa equação e teremos nossa resposta!

Passo 2

Para encontrar f x , tratamos y como constante e derivamos em relação a x , de forma que

∂ f ∂ x = y d   c o s ( x - y ) d x

Que por sua vez pode ser resolvida com a regra da cadeia!

Relembrando:

A regra da cadeia nos diz que para uma função

w = f g ( x )

A sua derivada é dada por

d w d x = d f u d u ⋅ d g x d x  

De forma que

∂ f ∂ x = y d c o s u d u ⋅ d ( x - y ) d x

f x = - y   s e n x - y

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 2 ,   2 ,   2 ) nós temos

f x 2 ,   2 = 0

Da mesma forma, para encontrar f y , tratamos x como constante e derivamos em relação a y , de forma que

∂ f ∂ y = d   y c o s ( x - y ) d y

Que por sua vez pode ser resolvida com a regra do produto!

Relembrando: A regra do produto diz que para uma função

z x = f x ⋅ g ( x )

A sua derivada é dada por

d z d x = f ' x g x + f x g ' ( x )

De forma que, para o nosso caso

∂ f ∂ y = d y d y ⋅ cos ⁡ x - y + y ⋅ d c o s x - y d y

f y = cos ⁡ x - y + y s e n x - y

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 2 ,   2 ,   2 ) nós temos

f x ( 2 ,   2 ) = 1

Passo 3

Agora que temos todos os dados necessários, podemos substituir tudo na fórmula!

De forma que a nossa equação do plano tangente é:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

z - 2 = 0 ⋅ x - 2 + 1 ⋅ ( y - 2 )

z - 2 = y - 2

z = y

Resposta

z = y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu pl
Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o pla
Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu pl
Mostre que a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico z / c = x 2 / a 2 + y 2 / b 2 no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) pode ser escrita como 2 x x 0 a 2 + 2 y y 0 b 2 = z + z 0 c
Determine a equação do plano tangente ao hiperboloide x 2 / a 2 + y 2 / b 2 - z 2 / c 2 = 1 em ( x 0 , y 0 , z 0 ) e expresse-a de forma semelhante à do Exercício 49.