Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = y * cos(x - y)

(2, 2, 2)

Passo 1

Show de bola, galera. A gente tem aqui uma questão de planos tangentes, vamos lá!

A questão nos dá a função z e um ponto ( 2 ,   2 ,   2 ) , mas como encontrar essa equação?

Para uma função f x , y = z com derivadas parciais contínuas, podemos descrever a equação do plano tangente no ponto x 0 , y 0 , z 0 como:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Dessa forma, só precisamos encontrar as derivadas parciais f x e f y para substituir nessa equação e teremos nossa resposta!

Passo 2

Para encontrar f x , tratamos y como constante e derivamos em relação a x , de forma que

∂ f ∂ x = y d   c o s ( x - y ) d x

Que por sua vez pode ser resolvida com a regra da cadeia!

Relembrando:

A regra da cadeia nos diz que para uma função

w = f g ( x )

A sua derivada é dada por

d w d x = d f u d u ⋅ d g x d x  

De forma que

∂ f ∂ x = y d c o s u d u ⋅ d ( x - y ) d x

f x = - y   s e n x - y

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 2 ,   2 ,   2 ) nós temos

f x 2 ,   2 = 0

Da mesma forma, para encontrar f y , tratamos x como constante e derivamos em relação a y , de forma que

∂ f ∂ y = d   y c o s ( x - y ) d y

Que por sua vez pode ser resolvida com a regra do produto!

Relembrando: A regra do produto diz que para uma função

z x = f x ⋅ g ( x )

A sua derivada é dada por

d z d x = f ' x g x + f x g ' ( x )

De forma que, para o nosso caso

∂ f ∂ y = d y d y ⋅ cos ⁡ x - y + y ⋅ d c o s x - y d y

f y = cos ⁡ x - y + y s e n x - y

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 2 ,   2 ,   2 ) nós temos

f x ( 2 ,   2 ) = 1

Passo 3

Agora que temos todos os dados necessários, podemos substituir tudo na fórmula!

De forma que a nossa equação do plano tangente é:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

z - 2 = 0 ⋅ x - 2 + 1 ⋅ ( y - 2 )

z - 2 = y - 2

z = y

Resposta

z = y

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