Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = 4 * x² - y² + 2 * y

(-1, 2, 4)

Passo 1

Show de bola, galera. A gente tem aqui uma questão de planos tangentes, vamos lá!

A questão nos dá a função z e um ponto ( - 1 ,   2 ,   4 ) , mas como encontrar essa equação?

Para uma função f x , y = z com derivadas parciais contínuas, podemos descrever a equação do plano tangente no ponto x 0 , y 0 , z 0 como:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Dessa forma, só precisamos encontrar as derivadas parciais f x e f y para substituir nessa equação e teremos nossa resposta!

Passo 2

Para encontrar f x , tratamos y como constante e derivamos em relação a x , de forma que

f x = 8 x

Substituindo o valor do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1 ,   2 ,   4 ) nós temos

f x - 1 ,   2 = - 8

Da mesma forma, para encontrar f y , tratamos x como constante e derivamos em relação a y , de forma que

f y = - 2 y + 2

Substituindo o valor do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1 ,   2 ,   4 ) nós temos

f x - 1 ,   2 = - 2

Passo 3

Agora que temos todos os dados necessários, podemos substituir tudo na fórmula!

De forma que a nossa equação do plano tangente é:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

z - 4 = - 8 x + 1 - 2 ( y - 2 )

z - 4 = - 8 x - 8 - 2 y + 4

z = - 8 x - 2 y

Resposta

z = - 8 x - 2 y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados