Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 28

28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

, (elipse)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por uma equação em um determinado ponto. Para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação. Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta). Para a reta tangente, será a derivada de com relação a , isto é, no ponto de tangência. Assim, para encontrar , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a :

Então,

Passo 3

Como o ponto de interesse é , devemos substituir e na equação encontrada no passo 2:

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

Resposta

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