Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 27
Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente da curva no pontos dados.
, (hipérbole)
Passo 1
Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo.
Este problema nos pede para acharmos a reta tangente no ponto dado, ou, seja, por derivação implícita.
Para resolver uma derivação implícita, você deve derivar a equação dada, sendo que quando derivar em você deriva normal, e quando derivar em você tem que multiplicar por depois.
Após isso, vamos usar a derivada encontrada para encontrar a equação da reta tangente que é dada por:
Sendo e o ponto dado . E é a inclinação da reta tangente, que nós vamos encontrar substituindo o ponto e na expressão da derivada que encontrarmos.
Passo 2
Para derivar implicitamente, vamos derivar os dois lados da equação:
Como estamos derivando em função de , devemos aplicar a regra da cadeia em , isso é, sempre que derivar com , multiplica por .
Repara que eu fiz uma regra do produto ali pra derivar .
Passo 3
Então, devemos isolar para encontrarmos a derivada implícita de :
Passo 4
Por fim, devemos substituir o ponto dado derivada que achamos. Fica assim:
Essa é a inclinação da reta tangente, portanto, com a fórmula da reta tangente temos:
Substituindo o ponto e a inclinação encontrada: