Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente da curva no pontos dados.

x^2 - xy - y^2 = 1 , (2,1) (hipérbole)

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo.

Este problema nos pede para acharmos a reta tangente no ponto dado, ou, seja, y ' por derivação implícita.

Para resolver uma derivação implícita, você deve derivar a equação dada, sendo que quando derivar em x você deriva normal, e quando derivar em y você tem que multiplicar por y ' depois.

Após isso, vamos usar a derivada y ' encontrada para encontrar a equação da reta tangente que é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Sendo x 0 e y 0 o ponto dado 2,1 . E m   é a inclinação da reta tangente, que nós vamos encontrar substituindo o ponto x 0 e y 0 na expressão da derivada que encontrarmos.

Passo 2

Para derivar implicitamente, vamos derivar os dois lados da equação:

x 2 - x y - y 2 = 1 d d x x 2 - x y - y ² = d d x ( 1 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y , isso é, sempre que derivar com y , multiplica por y ' .

2 x - 1 y + x 1 y ' - 2 y y ' = 0

Repara que eu fiz uma regra do produto ali pra derivar x y .

Passo 3

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

2 x - 1 y + x 1 y ' - 2 y y ' = 0

2 x - y + x y ' = 2 y y '

2 x - y = x y ' + 2 y y '

y ' = 2 x - y x + 2 y

Passo 4

Por fim, devemos substituir o ponto dado derivada que achamos. Fica assim:

y ' ( x , y ) = 2 x - y x + 2 y

y ' ( 2,1 ) = 2 2 - 1 2 + 2 1

y ' 2,1 = 3 4

Essa é a inclinação da reta tangente, portanto, com a fórmula da reta tangente temos:

y - y 0 = m x - x 0

Substituindo o ponto e a inclinação encontrada:

y - 1 = 3 4 x - 2

y = 3 4 x - 3 2 + 1

y = 3 4 x - 1 2

Resposta

y = 3 4 x - 1 2

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