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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 38

Encontre y ' ' por derivação implícita.

x^3 - y^3 = 7

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada segunda de y em relação a x por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x^3 - y^3 = 7

(d)/(d x) (x^3 - y^3) = (d)/(d x) ( 7 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y :

3 x^2 - 3 y ² y ' = 0

Passo 2

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

3 y ² y ' = 3 x ² y^' = (x^2)/(y^2)

Passo 3

Por fim, devemos derivar os dois lados novamente para encontrarmos a derivada seguda. Fica assim:

y^' = (x^2)/(y^2)

(d)/(d x) ( y^' ) = (d)/(d x) ((x^2)/(y^2))

Pela regra do quoeficiente, temos:

y^(' ') = (2 x (y^2) - ( x^2 ) ( 2 y y^' ))/(y^4)

Substituindo y ' :

y^(' ') = (2 x (y^2) - (x^2) (2 y ((x^2)/(y^2))))/(y^4) y^(' ') = (2 x y^2 - (2 x^4 y)/(y^2))/(y^4)

y^(' ') = (2 x)/(y^2) - (2 x^4)/(y^5)

Isso já é uma resposta correta, maaas podemos dar uma arrumadinha:

y^(' ') = (2 x y^3 - 2 x^4)/(y^5)

y^(' ') = (2 x (y^3 - x^3))/(y^5)

E a gente tem do enunciado que x^3 - y^3 = 7 , então y^3 - x^3 = - 7 . Daí:

y^(' ') = - (14 x)/(y^5)

Que ficou só um pouco mais bonitinha, ne...

Mas acabamos. Partiu treinar mais??

Resposta

y^(' ') = - (14 x)/(y^5)

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 y^2 + x s e n y = 4