Formas extravagantes podem ser criadas usando-se a capacidade de traçar funções definidas implicitamente de um SCA.

  1. Faça o gráfico da curva com equação
  2. y(y² - 1)(y - 2) = x(x - 1)(x - 2)

    Em quantos pontos essa curva tem tangentes horizontais?

  3. Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (0,1) e (0,2) .
  4. Encontre as coordenadas x exatas nos pontos da parte (a).
  5. Crie curvas mais extravagantes ainda modificando a equação da parte (a).

Passo 1

Nessa questão queremos encontrar o gráfico de uma curva dada por:

y y 2 - 1 y - 2 = x x - 1 x - 2

Usando um SCA (Sistema de computação algébrica). Depois de feito o gráfico, vamos analisar onde o gráfico possui retas tangentes horizontais, as retas tangentes em dois pontos e por fim vamos brincar de fazer curvas no SCA mexendo na equação dada.

Aqui vamos lembrar que a equação da reta tangente em um ponto x 0 , y 0 é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Onde m é a inclinação da reta que pode ser calculada fazendo a derivada da função no ponto.

E para derivar essa função implicitamente devemos derivar de ambos os lados da expressão, e sempre que derivarmos em y devemos multiplicar por y ' .

Passo 2

  1. O gráfico da curva é o seguinte:

Olhando o gráfico vemos que há oito pontos com tangentes horizontais, localizados aproximadamente em x = 1,5   e x = 0,5 .

Passo 3

A gente acha as equações da reta tangente derivando nossa curva, então:

Só lembrando que a curva é dada por:

y y 2 - 1 y - 2 = x x - 1 x - 2

Antes de derivar, vamos realizar essas multiplicações, pois parece que ficará mais fácil.

y 3 - y y - 2 = x 2 - x ( x - 2 )

y 4 - 2 y 3 - y 2 + 2 y = x 3 - 2 x 2 - x 2 + 2 x

Derivando implicitamente temos:

4 y 3 y ' - 2 3 y 2 y ' + 2 y y ' + 2 y ' = 3 x 2 - 4 x - 2 x + 2

Organizando:

4 y 3 y ' - 6 y 2 y ' + 2 y y ' + 2 y ' = 3 x 2 - 6 x + 2

E deixando y ' em evidência.

y ' = 3 x 2 - 6 x + 2 4 y 3 - 6 y 2 + 2 y + 2

E substituindo o ponto 0,1 , obtemos:

y ' = 2 4 - 6 + 2 + 2 = 1

De forma que a reta tangente será:

y - y 0 = m x - x 0

y - 1 = 1 x - 0

y = x + 1

Já no ponto 0,2 iremos obter:

y ' = 2 4 8 - 6 4 + 2 2 + 2

y ' = 2 32 - 24 + 4 + 2

y ' = 2 14

y ' = 1 7

E substituindo na reta tangente, obtemos:

y - 2 = 1 7 x - 0

y = 1 7 x + 2

Passo 4

Para encontrar analiticamente os pontos onde a reta tangente é horizontal, basta fazer que a derivada vale zero.

y ' = 3 x 2 - 6 x + 2 4 y 3 - 6 y 2 + 2 y + 2 = 0

O que só é verdade se

3 x 2 - 6 x + 2 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores de x .

x = 1 ± 1 3 3

Passo 5

Multiplicando o lado direito da equação por ( x - 3 ) , a gente obtém o primeiro gráfico.

Modificando a equação de outras maneiras, podemos gerar os gráficos a seguir:

Resposta

Questão téorica, resposta nos passos.

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